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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | Gegeben sei folgende Dichtefunktion
f(x) = [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
a) Berechnen Sie die kleinstmöglichen Intervallgrenzen, damit f(x) eine gültige Dichtefunktion darstellt.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert. |
Hallo,
ich komme mit der obigen Aufgabe nicht so recht klar.
Bei a) weiß ich leider keinen Ansatz. Was heißt gültige Dichtefunktion überhaupt??
zu b) Da hab ich den Ansatz E(X) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{xf(x) dx} [/mm] verwendet. Wenn ich dann aber für f(x) meine obige Dichtefunktion einsetze erhalte ich mit partieller Integration aber den Erwartungswert [mm] \infty. [/mm] Das kann doch nicht sein, oder??
Hab ich die Grenzen falsch gesetzt oder ist der komplette Ansatz falsch??
Für ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Sa 06.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Murx (klingt melodisch  ),
zwei Dinge machen f zur Dichte:
1) [mm] f(x)\ge0 [/mm] fuer alle [mm] x\in\IR
[/mm]
2) [mm] \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey, ich sitze vor der selben Aufgabe..
versteh ich das denn jetzt richtig, dass wenn ich hier nun das kleinstmögliche Intervall [a,b] suche, gelten muss:
f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]
und [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] =1 ??
Dann hätte ich raus: [a,b]= [mm] [1,1+\sqrt(6)]..
[/mm]
Wenn das jetzt total falsch ist, dann tut es mir Leid. Das einzige was ich zu der Definition zur Dichefunktion in meiner Vorlesung finde ist:
"Eine Verteilung heißt absolutstetig, falls sich die Verteilungsfunktion F(x) [mm] =\integral_{x}^{-\infty}{f(s) ds} [/mm] schreiben lässt, wobei f(s) eine messbare Funktion ist. Die Funktion f(x) heißt Dichtefunktion der Verteilung."
Und ich weiß nicht wirklich wie mir das bei der Aufgabe helfen soll..
Stimmt der Ansatz von murx zur b denn?
Wir hatten zwei Formeln für den Erwartungswert
- falls X beschränkt durch c ist:
[mm] \integral_{c}^{-c}{sf(s) ds}
[/mm]
- falls X nicht beschränkt ist:
[mm] \integral_{\infty}^{-\infty}{sf(s) ds}
[/mm]
Aber was weiß ich den hier über die Zufallsvariable X? Wie seh ich denn hier, ob sie beschränkt ist?
Es tut mir leid, wenn das jetzt zu viele Fragen aufeinmal sind, aber ich komme momentan einfahc nicht mit unserem Skript klar!
Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte :)
Viele Grüße,
Damn
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Hallo ihr beiden,
also Luis' Hinweis folgend, muss f beide Kriterien erfüllen. x darf also nicht kleiner als 1 sein, da sonst f<0.
Zum zweiten müsst ihr [mm] a,b\in\IR [/mm] finden, so dass [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=1. [/mm]
Das heißt: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=[\bruch{1}{6}x^{2}-\bruch{1}{3}x]^{b}_{a}=\bruch{1}{6}b^{2}-\bruch{1}{3}b-\bruch{1}{6}a^{2}+\bruch{1}{3}a=1 [/mm] .
Die kleinste untere Grenze kennt ihr ja nun schon, sie ist 1. Setze also a=1 und löse diese quadratische Gleichung. Man erhält zwei Werte für b, von denen einer sicher nicht in Frage kommt. Und die Lösung von Damn88 stimmt: [mm] b=1+\wurzel{6}!
[/mm]
Grüße, Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 So 07.12.2008 | | Autor: | Damn88 |
Jippiiii Danke schön :)
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