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Dichte von Zufallsvar. bestim.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Mo 23.11.2009
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Es seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktionen [mm] F_{1},...,F_{n}. [/mm] Bestimme für den Fall, dass jedes [mm] X_{i} [/mm] gleichmäßig auf [0,1] verteilt ist, die Dichte von M = [mm] max\{X_{1},...,X_{n}\} [/mm] und m = [mm] min\{X_{1},...,X_{n}\}. [/mm]

Hallo!

Bei der obigen Aufgabe komme ich noch nicht ganz zu Rande.

Wenn alle [mm] X_{i} [/mm] gleichmäßig auf [0,1] verteilt sind, heißt das, dass die [mm] X_{i} [/mm] praktisch so aussehen:

[mm] $X_{i} [/mm] = [mm] 1_{0 \le x \le 1}(x)$, [/mm]

oder, d.h.

[mm] $F_{i}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad x < 0\\ x, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$ [/mm]

Und nun weiß ich schon aus einer vorhergehenden Aufgabe, dass

[mm] $F_{M}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}F_{i}(x)$, [/mm]

also müsste es ja sein:

[mm] $F_{M}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad x < 0\\ x^{n}, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$. [/mm]

Aber wie komme ich von der Verteilungsfunktion von M wieder auf die Dichte zurück? Darf ich einfach "ableiten"? Dann wäre:

[mm] f_{M}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad x < 0\\ n*x^{n-1}, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$ [/mm]

Stimmt das? Wieso darf ich ableiten? Weil die Verteilungsfunktion differenzierbar ist?

Danke für Eure Hilfe,
Stefan

        
Bezug
Dichte von Zufallsvar. bestim.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Mo 23.11.2009
Autor: luis52


> Aber wie komme ich von der Verteilungsfunktion von M wieder
> auf die Dichte zurück? Darf ich einfach "ableiten"? Dann
> wäre:
>  
> [mm]f_{M}(x)[/mm] = [mm]\begin{cases}0, \quad x < 0\\ n*x^{n-1}, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$[/mm]
>  
> Stimmt das?

Fast: $0, [mm] \quad [/mm] 1 < x$

> Wieso darf ich ableiten? Weil die
> Verteilungsfunktion differenzierbar ist?

Ja. Siehe []hier, Satz 8.9.

vg Luis


Bezug
                
Bezug
Dichte von Zufallsvar. bestim.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:34 Mo 23.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo luis,

danke für deine Antwort!

> > Aber wie komme ich von der Verteilungsfunktion von M wieder
> > auf die Dichte zurück? Darf ich einfach "ableiten"? Dann
> > wäre:
>  >  
> > [mm]f_{M}(x)[/mm] = [mm]\begin{cases}0, \quad x < 0\\ n*x^{n-1}, \quad 0\le x \le 1 \\ 1, \quad 1 < x\end{cases}$[/mm]
>  
> >  

> > Stimmt das?
>
> Fast: [mm]0, \quad 1 < x[/mm]

Oh... Da habe ich aber einen dummen Fehler gemacht...
  

> > Wieso darf ich ableiten? Weil die
> > Verteilungsfunktion differenzierbar ist?
>  
> Ja. Siehe
> []hier,
> Satz 8.9.

Danke für den Link :-)

Grüße,
Stefan

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