Dichte von X^2 < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei X eine N(0,1)-verteilte Zufallsvariable. Berechne die Dichte von [mm] X^2. [/mm] |
Guten Morgen,
die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}. [/mm] Nur wie bestimme ich die Verteilung der Produktfunktion? Multipliziert man diese Dichtefunktion mit sich selbst? Ich finde leider keinen entsprechenden Satz in meiner Mitschrift.
Lg Lykanthrop
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mi 13.06.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin, bestimme die Verteilungsfunktion [mm] $P(X^2\le [/mm] z)$ fuer [mm] $z\ge0$ [/mm] und leite anschliessend ab. (Was ist [mm] $P(X^2\le [/mm] z)$ fuer $z<0_$?)
vg Luis
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> Sei X eine N(0,1)-verteilte Zufallsvariable. Berechne die
> Dichte von [mm]X^2.[/mm]
> Guten Morgen,
> die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}.[/mm] Nur wie bestimme
> ich die Verteilung der Produktfunktion? Multipliziert man
> diese Dichtefunktion mit sich selbst? Ich finde leider
> keinen entsprechenden Satz in meiner Mitschrift.
>
> Lg Lykanthrop
Hallo Lykanthrop,
Es sei f die Dichtefunktion der Verteilung N(0,1) von X
und g die gesuchte Dichtefunktion von [mm] X^2. [/mm]
Betrachten wir ein (infinitesimales) Intervall [t ... t+dt] der
Länge dt auf der t-Achse (mit t>0), so wird dieses durch die
Abbildung [mm] x\mapsto{x^2} [/mm] auf das Intervall [mm] [t^2 [/mm] ... [mm] t^2+2\,t\,dt+(dt)^2]
[/mm]
der Länge [mm] 2\,t\,dt [/mm] (in erster Ordnung) abgebildet. Außerdem
wird das dazu symmetrische Intervall [-t-dt ... -t] auf dasselbe
Bildintervall abgebildet. Wegen der Symmetrie der gegebenen
Normalverteilung tragen die beiden Urintervalle dieselbe
Dichte f(t)=f(-t) auf einer Gesamtlänge von [mm] 2\,dt [/mm] .
Das Bildintervall trägt auf seiner Länge von [mm] 2\,t\,dt [/mm] die
(gesuchte) Dichte [mm] g(t^2).
[/mm]
Nun vergleichen wir die Gesamtwahrscheinlichkeiten vor
und nach der Abbildung. Sie müssen übereinstimmen,
also:
[mm] $g(t^2)*2\,t\,dt\ [/mm] =\ [mm] f(t)*2\,dt$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $g(t^2)*t\ [/mm] =\ f(t)$
und, indem wir t durch [mm] \sqrt{t} [/mm] ersetzen:
$g(t)\ =\ [mm] \frac{f(\sqrt{t})}{\sqrt{t}}$ [/mm]
LG Al-Chw.
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