Dichte von Maßen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Di 10.05.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Es sien [mm] (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] ein messbarer Raum und [mm] \mu, \nu [/mm] Maße auf diesem. Weisen sie jeweils [mm] \nu [/mm] << [mm] \mu [/mm] nach und geben sie eine Dichte f von [mm] \nu [/mm] bzgl [mm] \mu [/mm] an.
a) [mm] (\Omega, \mathcal{A})=(\IN, P(\IN)), [/mm] P und Q beliebige W-Maße und [mm] \mu=P+Q, \nu=P.
[/mm]
b) [mm] (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] beliebig, [mm] \lambda [/mm] ein [mm] \sigma-endliches [/mm] Maß auf [mm] \mathcal{A}, [/mm] P und Q W-Maße mit [mm] \lambda [/mm] Dichten g und h und [mm] \mu=P+Q, \nu [/mm] =P. |
Hi, ich komm da nicht so wirklich voran.
Also erstmal zu a)
Das [mm] \nu <<\mu [/mm] gilt konnte ich zeigen. Jetzt suche ich aber ja eine Dichte. D.h. es muss ja gelten:
[mm] \nu(A)=P(A)=\int_A [/mm] f(x) [mm] d\mu=\int_A [/mm] f(x) d(P+Q).
Jezt komm ich da irgendwie nicht mit weiter. Kann ich die Maße hinten im Integral irgendwie auseinander ziehen? Oder macht man das gar nicht so? Vielleicht doch irgendiwe differenzieren?
Wäre super wenn mir jemand da nen Tipp geben kann, wie man vorgehen muss.
Viele Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Fry |
Hi!
zu a) Berechne die Dichte f, indem du für ein beliebiges [mm] \omega\in\IN [/mm]
[mm] P(\{\omega\}) [/mm] berechnest, also indem du in obiger Darstellung [mm] A=\{\omega\} [/mm] setzt.
Wenn du das Integral ausgerechnet hast, einfach nach [mm] f(\omega) [/mm] auflösen.
Danach dann zeigen, dass dies auch wirklich die Dichte ist, indem du für beliebige Mengen A es nachweist. Beachte dabei, dass, da [mm] \IN [/mm] abzählbar ist, sich jede Teilmenge A als disjunkte Vereinigung von Einpunktmengen [mm] \{\omega\} [/mm] schreiben lässt.
zu b) Wie lautet die [mm] $\lambda$-Dichte [/mm] von P+Q ?
Dann kannst du auf zwei verschiedene Arten P(A) (mittels [mm] $\lambda$-Dichten) [/mm] darstellen. Danach benutzten, dass generell Dichten fast sicher eindeutig bestimmt sind.
Gruß
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Mi 11.05.2011 | | Autor: | aly19 |
hey, danke mal wieder für deine antwort :)
> zu a) Berechne die Dichte f, indem du für ein beliebiges
> [mm]\omega\in\IN[/mm]
> [mm]P(\{\omega\})[/mm] berechnest, also indem du in obiger
> Darstellung [mm]A=\{\omega\}[/mm] setzt.
> Wenn du das Integral ausgerechnet hast, einfach nach
> [mm]f(\omega)[/mm] auflösen.
Also sei [mm] \omega \in \IN. [/mm]
Dann [mm] P(\{\omega\})=\int_{\{\omega\}} [/mm] f(x) [mm] d\mu=\int [/mm] f(x) [mm] 1_{\{\omega\}}d\mu =f(\omega)(P(\{\omega\})+Q(\{\omega\}))
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher ob der letzte Schritt beim Intergal ausführen so geht, aber man integriert ja eigentlich nur über einen Punkt also müsste das ja eigentlich Maß von dem Punkt mal Funktionswert sein oder?
Dann folgt:
[mm] f(\{\omega\})=\bruch{P(\{\omega\})}{P(\{\omega\})+Q(\{\omega\})} d\mu [/mm]
> Danach dann zeigen, dass dies auch wirklich die Dichte ist,
> indem du für beliebige Mengen A es nachweist. Beachte
> dabei, dass, da [mm]\IN[/mm] abzählbar ist, sich jede Teilmenge A
> als disjunkte Vereinigung von Einpunktmengen [mm]\{\omega\}[/mm]
> schreiben lässt.
Okay sei jetzt A [mm] \subset \IN [/mm] beliebig, dann [mm] A=\cup_{a \in A}\{a\}, [/mm] da A abzählbar.
[mm] \int_A \bruch{P(\{x\})}{P(\{x\})+Q(\{x\})}=\int 1_A \bruch{P(\{x\})}{P(\{x\})+Q(\{x\})} d(P+Q)=\int \sum_{a \in A} 1_{\{ a\}} \bruch{P(\{x\})}{P(\{x\})+Q(\{x\})} [/mm] d(P+Q)= [mm] \sum_{a \in A} \int 1_{\{ a\}} \bruch{P(\{x\})}{P(\{x\})+Q(\{x\})} [/mm] d(P+Q) [mm] =\sum_{a \in A} P(\{a\})=P(\cup_{a \in A} \{a\})=P(A).
[/mm]
Stimmt das so? ich war mir das nicht so sicher mit dem auseinander ziehen?
> zu b) Wie lautet die [mm]\lambda[/mm]-Dichte von P+Q ?
> Dann kannst du auf zwei verschiedene Arten P(A) (mittels
> [mm]\lambda[/mm]-Dichten) darstellen. Danach benutzten, dass
> generell Dichten fast sicher eindeutig bestimmt sind.
Zu b)
Also [mm] P(A)=\int_A [/mm] g(x) [mm] d\lambda [/mm] gilt einerseits.
Andererseits: [mm] \mu(A)=(P+Q)(A)=\int_A [/mm] (g+h) [mm] d\lambda [/mm] und somit:
[mm] P(A)=\int_A [/mm] f(x) [mm] d\mu=\int_A f(x)d(P+Q)=\int_A [/mm] f(x)(g+h)(x) [mm] d\lambda
[/mm]
Wegen der Eindeutigkeit:
f(x)(g(x)+h(x))=g(x) [mm] \mu-f.ü.
[/mm]
Also: [mm] f(x)=\bruch{g(x)}{g(x)+h(x)} [/mm]
Stimmt das so?
Für die Eindeutigkeit ist doch ncoh Voraussetzung, dass f oder g [mm] \lambda-integrierbar [/mm] sind oder? Also jedenfalls steht der Satz so in unserem Skript. Kann man das ncoh irgendwie zeigen?
Vielen Dank für deine Hilfe und viele Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Fry |
Hey,
also soweit ich das beurteilen kann, schauts sehr gut aus :)
Bei der Dichte müsstest du vielleicht noch Indikatoren hinzufügen,
da die Gleichungen ja nur Sinn machen, wenn P({w})>0 bzw g>0.
[mm] f(x)=\bruch{P(\{x\})}{P(\{x\})+Q(\{x\})}*1_{\{P(\{x\})>0\}}
[/mm]
Zu deiner letzten Frage...bin da gerade überfragt. Vielleicht weiß jemand anders das..?
Viele Grüße!
Fry
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