Dichte einer Funktion zeigen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Do 23.10.2008 | | Autor: | canuma |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo.
Ich versuche mich schon eine ganze Zeit an der Aufgabe und komme einfach nicht weiter, die Stelle habe ich rot markiert und ich weiß, das es falsch ist.
Ich würde gern wissen wie es an der Stelle weiter geht, oder bin ich auf dem völlig falschem Weg?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich hab' nur mal grob drübergeschaut, aber Du hast in der zweiten Zeile schon einen Fehler:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dort steht [mm] $\displaystyle \int_0^b \exp\left(-\;\frac{(x-a)^2}{2}\right)\;dx=\int_0^{b-a} e^{-\;\frac{x^2}{2}}\;dx$, [/mm] aber es ist
[mm] $$\int_0^b \exp\left(-\;\frac{(x-a)^2}{2}\right)\;dx=\blue{\int\limits_{-a}^{b-a}} e^{-\;\frac{x^2}{2}}\;dx$$
[/mm]
(Substituiere $y=x-a$ und Du erkennst es.)
P.S.:
In der ersten Zeile verstehe ich auch, nach dem zweiten "$=$", den Nenner nicht?! Aber das liegt vll. auch nur an mir....
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo.
> Ich versuche mich schon eine ganze Zeit an der Aufgabe und
> komme einfach nicht weiter, die Stelle habe ich rot
> markiert und ich weiß, das es falsch ist.
Du hast da einiges durcheinandergeworfen. Neben den Bemerkungen von vorhin gilt ja auch nicht [mm] $\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\int_0^{b-a} e^{-\frac{x^2}{2}}\;dx=\Phi(b-a)$, [/mm] sondern es ist [mm] $\Phi(b-a)=\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\blue{\int\limits_{-\infty}^{b-a}}e^{-\frac{x^2}{2}}\;dx\,.$
[/mm]
Was man machen kann, und das steht ja bei Dir, wenn man meine Korrektur von oben berücksichtigt:
[mm] $$\int_{-\infty}^\infty f_a(x)\;dx=\frac{1}{\Phi(a)\sqrt{2\,\pi}}\lim_{b \to \infty}\underbrace{\int\limits_{-a}^{b-a}}_{=\int\limits_{-\infty}^{b-a}-\int\limits_{-\infty}^{-a}} \exp(-x^2/2)\;dx=\frac{1}{\Phi(a)}\lim_{b \to \infty} (\Phi(b-a)-\Phi(-a))$$
[/mm]
Wie das dritte Gleichheitszeichen zustande kommt, habe ich versucht, anzudeuten. Und zwar gilt, falls für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] das [mm] $\int\limits_{-\infty}^r g(x)\;dx$ [/mm] existiert, dann
[mm] $$\int\limits_{s}^t g(x)\;dx=\int\limits_{-\infty}^t g(x)\;dx-\int\limits_{-\infty}^s g(x)\;dx$$
[/mm]
für alle $s,t [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Und da [mm] $\black{a}$ [/mm] fest (und damit von [mm] $\black{b}$ [/mm] unabhängig) ist, kannst Du nun ausnutzen, dass [mm] $\lim_{b \to \infty} \Phi(b-a)=\lim_{b \to \infty} \Phi(b)$ [/mm] gilt (notfalls Substitution [mm] $\black{r}=b-a$, [/mm] dann beachte $b [mm] \to \infty$ $\gdw$ [/mm] $r [mm] \to \infty$).
[/mm]
Also:
[mm] $$\int_{-\infty}^\infty f_a(x)\;dx=\frac{1}{\Phi(a)}\lim_{b \to \infty} (\Phi(b)-\Phi(-a))$$
[/mm]
Am Ende beachtest Du dann noch
[mm] $$\lim_{b \to \infty} \underbrace{\Phi(b)-\Phi(-a)}_{\substack{=\int\limits_{-\infty}^b...\;-\;\int\limits_{-\infty}^{-a}...\\=\int\limits_{-a}^b...}\text{ }}=\int\limits_{-a}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}e^{-\,\frac{x^2}{2}}\;dx=\int\limits_{-\,\infty}^{a}\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}e^{-\,\frac{x^2}{2}}\;dx=\Phi(a)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Fr 24.10.2008 | | Autor: | canuma |
Wirklich vielen Dank für die ausführliche und schnelle Erklärung.
Ich denke jetzt alles verstanden zu haben. Ich werde es morgen noch einmal nachrechnen, aber ich sollte nun keine Probleme mehr haben.
Mein Problem war wohl, das ich von Beginn an die x>0 als Untergrenze für das Integral eingesetzt habe und das auch noch bei der Verschiebung des Integrals um -a.
lg canuma
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:05 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wirklich vielen Dank für die ausführliche und schnelle
> Erklärung.
> Ich denke jetzt alles verstanden zu haben. Ich werde es
> morgen noch einmal nachrechnen, aber ich sollte nun keine
> Probleme mehr haben.
> Mein Problem war wohl, das ich von Beginn an die x>0 als
> Untergrenze für das Integral eingesetzt habe und das auch
> noch bei der Verschiebung des Integrals um -a.
ja, ich geb' zu, die Notation hier ist auch verwirrend. Beim Integral über [mm] $f_a$ [/mm] weiß man ja, dass die Werte, wo das Argument des Integranden $< 0$ ist, nicht interessieren. Und vielleicht hätte man einfach besser direkt
[mm] $$\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\exp(-t^2/2)\;dt$$
[/mm]
schreiben sollen, anstatt [mm] $\int_{-\infty}^x \varphi(t)\;dt$ [/mm] und dann [mm] $\varphi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\exp(-x^2/2)$ [/mm] zu schreiben. Dann käme man vielleicht nicht in die Versuchung, bei anderen Integralen dann auch zu denken, dass dort die Werte, wo das Argument des Integranden $ < 0$ ist, nicht interessieren.
Ich kann gut verstehen, dass Du da an manchen Stellen durcheinandergekommen bist. Aber man soll ja auch lernen, jeden seiner Schritte zu überprüfen, indem Sinne war es vll. gut, dass Du die Fehler so gemacht und nun auch erkannt hast 
Aus Fehlern lernt man ja bekanntlich und so wirst Du derartige in Zukunft sicher vermeiden bzw. auf jeden Fall sorgfältiger drauf achten, dass es nicht wieder passiert
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
