Dichte,Verteilungsfunktion,EV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 08.10.2012 | | Autor: | stu |
| Aufgabe | Es sei f(x)= 2x für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und f(x)= 0 sonst.
a)Beweisen Sie, dass f die Dichte einer Zufallsvariablen X ist.
b)Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x)=P(X [mm] \le [/mm] x) dieser Zufallsvariablen.
c)Bestimmen Sie P(1/3 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 1/2).
d)Bestimmen Sie den Erwartungswert E[X]. |
Ich habe im Moment keinerlei Ahnung, wie ich diese Aufgaben angehen soll :( Kann mir vll jemand einen passenden Ansatz aufzeigen?
Die Dichte von X ist definiert als: [mm] \integral_{- \infty}^{x}{f(x) dx}, [/mm] aber wie beweise ich nun, dass das og. f die Dichte ist?
vielen dank und gruss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo stu,
so Aufgaben gibt es immer wieder und sie sind nicht so furchtbar schwer, wenn Du zwei Eigenschaften der Dichtefunktion betrachtest.
1) Im Definitionsbereich nimmt die Dichte positive Werte an und
2) das Integral über den gesamten Definitionsbereich muss 1 ergeben, das sogenannte sichere Ereignis.
Das kannst Du ja mal für Dein f(x) überprüfen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich x ist, ist dann
[mm] F(x)= P(X \leq x) = \int_0^x f(x) \, dx [/mm]
Damit solltest Du die Aufgabe lösen können.
Viel Erfolg dabei wünscht
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 08.10.2012 | | Autor: | stu |
Also für mein f(x)= 2x für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1, f(x)=0 sonst eingesetzt habe ich:
[mm] \integral_{0}^{1}{2x dx} [/mm] = [2/2 [mm] x^2] [/mm] dann Grenzen 1 und 0 einsetzen, ergibt: [mm] 1*1^2 [/mm] - 0 = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist Dichte, da Integral = 1
War das so gemeint? reicht das nun als Beweis zu a)?
Gibt es weitere Tipps, wie ich nun die Verteilungsfunktion in b) bestimmen kann?
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Hiho,
> Also für mein f(x)= 2x für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1, f(x)=0 sonst
> eingesetzt habe ich:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{2x dx}[/mm] = [2/2 [mm]x^2][/mm] dann Grenzen 1 und 0
> einsetzen, ergibt: [mm]1*1^2[/mm] - 0 = 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist Dichte, da Integral = 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> War das so gemeint? reicht das nun als Beweis zu a)?
Ja, fehlt noch der (offensichtliche) Beweis, dass [mm] $f\ge [/mm] 0$ gilt.
> Gibt es weitere Tipps, wie ich nun die Verteilungsfunktion in b) bestimmen kann?
Ausrechnen!!
Wie die Verteilungsfunktion bestimmt ist bei gegebener Dichte, wurde ja bereits gesagt, nun heißt es, dieses Integral auszurechnen.
Tipp: Fallunterscheidung für [mm] $x\le [/mm] 0, 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1, [mm] x\ge [/mm] 1$
MFG,
Gono.
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