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| Aufgabe | | Man kann jeden [mm] L^p((a,b),dx) [/mm] als Teilraum des [mm] L^p(\IR) [/mm] betrachten. Ist die Vereinigung all dieser Teilräume dicht im [mm] L^p(\IR)? [/mm] |
Hallo Leute,
ich hoffe, ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen. Leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Ich weiß was dicht bedeutet, und ich weiß auch, dass man die Vereinigung dieser Teilräume als direkte Summe schreiben kann.
Bitte um einen kleinen "Schubs" in die richtige Richtung!
Vielen Dank,
MatheRabe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man kann jeden [mm]L^p((a,b),dx)[/mm] als Teilraum des [mm]L^p(\IR)[/mm]
> betrachten. Ist die Vereinigung all dieser Teilräume dicht
> im [mm]L^p(\IR)?[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich hoffe, ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen. Leider
> weiß ich überhaupt nicht, wie ich bei dieser Aufgabe
> vorgehen soll.
Tipp:
Für [mm]f \in L^p((a,b),dx)[/mm] setze [mm] $\hat{f}:=f*1_{(a,b)}$. [/mm] Dann ist [mm] \hat{f} \in L^p(\IR). [/mm] Warum ?
> Ich weiß was dicht bedeutet, und ich weiß
> auch, dass man die Vereinigung dieser Teilräume als
> direkte Summe schreiben kann.
So, wie denn ?
FRED
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> Bitte um einen kleinen "Schubs" in die richtige Richtung!
>
> Vielen Dank,
> MatheRabe
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für deine Antwort!
Zu deinem Tipp: Was meinst du mit [mm] 1_{(a,b)} [/mm] ? Was ist das?
> > Ich weiß was dicht bedeutet, und ich weiß
> > auch, dass man die Vereinigung dieser Teilräume als
> > direkte Summe schreiben kann.
>
> So, wie denn ?
>
Seien [mm] T_1, T_2, [/mm] ..., [mm] T_n [/mm] die Teilräume [mm] L^p((a,b),dx) [/mm] mit beliebigen a,b=const. Dann ist die Vereinigung all dieser Teilräume
V := [mm] T_1 \oplus T_2 \oplus [/mm] ... [mm] \oplus T_n
[/mm]
Da die [mm] T_i [/mm] (1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n) als Teilräume des [mm] L^p(\IR) [/mm] selbst Banachräume sind, ist auch V ein Banachraum.
Soviel dazu, was ich mir bereits überlegt habe.
Danke für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Fr 08.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort!
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> Zu deinem Tipp: Was meinst du mit [mm]1_{(a,b)}[/mm] ? Was ist das?
Die charakteristische Funktion des Intervalls(a,b)
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> > > Ich weiß was dicht bedeutet, und ich weiß
> > > auch, dass man die Vereinigung dieser Teilräume als
> > > direkte Summe schreiben kann.
> >
> > So, wie denn ?
> >
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> Seien [mm]T_1, T_2,[/mm] ..., [mm]T_n[/mm] die Teilräume [mm]L^p((a,b),dx)[/mm] mit
> beliebigen a,b=const. Dann ist die Vereinigung all dieser
> Teilräume
>
> V := [mm]T_1 \oplus T_2 \oplus[/mm] ... [mm]\oplus T_n[/mm]
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> Da die [mm]T_i[/mm] (1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n) als Teilräume des [mm]L^p(\IR)[/mm]
> selbst Banachräume sind, ist auch V ein Banachraum.
Das ist mir überhaupt nicht klar, was Du da treibst. Gehts auch klar und präzise ?
FRED
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> Soviel dazu, was ich mir bereits überlegt habe.
>
> Danke für deine Hilfe!
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> Das ist mir überhaupt nicht klar, was Du da treibst. Gehts
> auch klar und präzise ?
>
Was verstehst du nicht? Gefragt ist ja, ob die Vereinigung aller Teilräume [mm] L^p((a,b),dx) [/mm] dicht im [mm] L^p(\IR) [/mm] liegt. Das "Vereinigen" von Teilräumen ist das selbe wie wenn ich die Teilräume mittels der direkten Summe zusammenaddiere. Das stimmt mal sicher, hab ich überprüft. Die Frage ist nur, ob ich auf diesem Weg weiterkomme.
Ansonsten bitte ich um Aufklärung bzw. einen anderen Ansatz ;) Momentan fällt mir nichts Besseres ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Fr 08.04.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > Das ist mir überhaupt nicht klar, was Du da treibst. Gehts
> > auch klar und präzise ?
> >
>
> Was verstehst du nicht? Gefragt ist ja, ob die Vereinigung
> aller Teilräume [mm]L^p((a,b),dx)[/mm] dicht im [mm]L^p(\IR)[/mm] liegt. Das
> "Vereinigen" von Teilräumen ist das selbe wie wenn ich die
> Teilräume mittels der direkten Summe zusammenaddiere.
Das ist doch nicht richtig !!
FRED
> Das
> stimmt mal sicher, hab ich überprüft. Die Frage ist nur,
> ob ich auf diesem Weg weiterkomme.
>
> Ansonsten bitte ich um Aufklärung bzw. einen anderen
> Ansatz ;) Momentan fällt mir nichts Besseres ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Fr 08.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Mir kommt das auch etwas spanisch vor, was du da sagst mit der direkten Summe. Es ist doch z.B. [mm]L^p(a,b)\subsetneq L^p(c,d)[/mm] für alle [mm]c
Gruß, Robert
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Nun, zugegeben, meine Hand ins Feuer legen würde ich nicht ;)
Aber immerhin habe ich es so in einem Buch gelesen (Großmann: Funktionalanalysis).
Aber egal - sollte es nicht stimmen, dann bitte ich um andere Vorschläge. Wie kann ich die Vereinigung all dieser Teilräume [mm] L^p((a,b),dx) [/mm] darstellen? Ist das nicht eine Vereinigung von unendlich vielen Räumen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Fr 08.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Wie Fred schon gesagt hat... schau dir zu [mm]f\in L^p(\IR)[/mm] mal [mm]f_1:=f\cdot 1_{(-1,1)}[/mm] an. Was ist mit [mm]f_2:=f\cdot 1_{(-2,2)}[/mm]?! Auf den Rest kommst du selbst.
Gruß, Robert
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Wenn f [mm] \in L^p(\IR) [/mm] ist, dann ist [mm] f_1 [/mm] := [mm] f*1_{(-1,1)} [/mm] im [mm] L^p((-1,1)), [/mm] denn die charakteristische Funktion ist 0 für alle x, die nicht [mm] \in [/mm] (-1,1) sind, und damit wird f sozusagen auf das Intervall (-1,1) zugeschnitten. Außerhalb dieses Intervalls ist [mm] f_1 [/mm] = 0.
Das selbe für [mm] f_2 [/mm] := [mm] f*1_{(-2,2)}; [/mm] diese Funktion liegt im [mm] L^p((-2,2)).
[/mm]
Naja... ich sehe noch nicht, inwiefern mir das weiterhilft...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Fr 08.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Wenn du das fortführst, erhälst du eine Folge [mm](f_k)_{k\in\IN}[/mm] in [mm]\bigcup_{k\in\IN}L^p((-k,k))\subset V[/mm]. Nun zeige dass [mm]f_k[/mm] in [mm]L^p(\IR)[/mm] gegen [mm]f[/mm] konvergiert. Da [mm]f\in L^p(\IR)[/mm] beliebig war, hast du gezeigt, dass [mm]V[/mm] dicht in [mm]L^p(\IR)[/mm] liegt.
Gruß, Robert
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Okay!
Was ist aber V? Man soll doch zeigen, dass $ [mm] \bigcup_{k\in\IN}L^p((-k,k)) [/mm] dicht in [mm] L^p(\IR) [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Fr 08.04.2011 | | Autor: | pelzig |
V ist [mm]\bigcup_{a
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Sa 09.04.2011 | | Autor: | MatheRabe |
Alles klar, vielen Dank für die Hilfe an Fred und pelzig!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Fr 08.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Nun, zugegeben, meine Hand ins Feuer legen würde ich nicht
> ;)
> Aber immerhin habe ich es so in einem Buch gelesen
> (Großmann: Funktionalanalysis).
Das glaube ich nicht. Schreib mal, was Du meinst, gelesen zu haben.
>
> Aber egal - sollte es nicht stimmen, dann bitte ich um
> andere Vorschläge. Wie kann ich die Vereinigung all dieser
> Teilräume [mm]L^p((a,b),dx)[/mm] darstellen? Ist das nicht eine
> Vereinigung von unendlich vielen Räumen?
[mm] $V:=\bigcup_{a,b~ mit ~ a
$ [mm] \overline{V}=L^p(\IR)? [/mm] $ ?
FRED
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