Dichte- und Verteilungsfuntion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Fr 16.03.2007 | | Autor: | yogi |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
a\left| x \right|^3 : & -2 \le x \le 2 \\
0 : & \mbox{sonst }
\end{matrix}\right.
[/mm]
(a) Man berechne die Konstante a so, dass f(x) eine Dichtefunktion ist.
(b) Man berechne Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung
(c) Man berechne das 0.25 und das 0.75 Quantil der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich schreibe eine Klausur über Stochastik am 26. März.
Soweit komme ich mit Aufgaben wo es um konkrete Zahlen geht gut klar. Bei der oben geschriebenen aber fehlt mir der Ansatz.
Gibt es jemanden, der mir eine Internetseite oder ein Buch empfehlen kann, die auf einfache Weise erklärt, wie ich solche Aufgaben lösen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Fr 16.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin yogi,
schau dir mal
Schaum's Outline of Probability and Statistics
von Murray R. Spiegel (Autor), John J. Schiller (Autor), R. A. Srinivasan
an. Gibt's glaube ich auch in Deutsch.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Fr 16.03.2007 | | Autor: | yogi |
Ich kann dieses Buch leider nur in englischer Sprache finden (ich habe amazon gewälzt).
Irgendeine Ahnung wie es in deutscher Sprache heißt?
Vielen Dank schon im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
a\left| x \right|^3 : & -2 \le x \le 2 \\
0 : & \mbox{sonst }
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> (a) Man berechne die Konstante a so, dass f(x) eine
> Dichtefunktion ist.
> (b) Man berechne Verteilungsfunktion, Erwartungswert und
> Varianz der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung
> (c) Man berechne das 0.25 und das 0.75 Quantil der
> zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich schreibe eine Klausur über Stochastik am 26. März.
>
> Soweit komme ich mit Aufgaben wo es um konkrete Zahlen geht
> gut klar. Bei der oben geschriebenen aber fehlt mir der
> Ansatz.
>
> Gibt es jemanden, der mir eine Internetseite oder ein Buch
> empfehlen kann, die auf einfache Weise erklärt, wie ich
> solche Aufgaben lösen kann?
Hallo,
Eine Dichtefunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte von stetiger Zufallsvariable
Nach der Definition ist eine Dichtefunktion f(x):
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] (a\le P(X)\le [/mm] b)
Die Fläche unter der Dichtefunktionskurve muss immer gleich 1 sein.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1
[/mm]
Wenn du diese Eigenschaft von der Dichtefunktion verwendest, kannst du a-Wert finden für den deine Funktion eine Dichtefunktion ist.
Da deine Funktion für x<-2 und x>2 gleich 0 ist, reicht es so eine Gleichung zu lösen:
[mm] \integral_{-2}^{2}{a|x^3| dx} [/mm] = 1
Linker Integral kann man so umformen: [mm] \integral_{-2}^{2}{a|x^3|) dx} [/mm] = [mm] 2*\integral_{0}^{2}{ax^3 dx}
[/mm]
Kommst du weiter alleine?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Fr 16.03.2007 | | Autor: | yogi |
Ja, die Dichtefunktion ist dann soweit klar. Das wäre
[mm] 2*(a*\bruch{1}{4}*2^4)=1
[/mm]
a=1/8
Vielen Dank schonmal dafür!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
zu 1b)
Die Verteilungsfunktion ergibt sich als Stammfunktion von der Dichtefunktion auf dem Intervall vom unteren Ende des Definitionsbereiches der Zufallsvariablen bis zur Stelle a.
P(X<a) = F(a) = [mm] \integral_{-\infty}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
für deine f(x):
für x<-2 F(a) = [mm] \integral_{-\infty}^{a}{0* dx} [/mm] = 0
für x<0 F(a) = [mm] \integral_{-\infty}^{-2}{0* dx} [/mm] + [mm] \integral_{-2}^{a}{-(\bruch{1}{8})x^3 dx} [/mm] = [mm] -\bruch{a^4}{32}+\bruch{1}{2}
[/mm]
für x<2 F(a) = 0 + [mm] \integral_{-2}^{0}{-(\bruch{1}{8})x^3 dx}+ \integral_{0}^{a}{\bruch{1}{8}x^3 dx} [/mm] = [mm] \bruch{a^4}{32}+\bruch{1}{2}
[/mm]
für x>2 F(a) = 1
statt a kann man die "übliche" Variable x schreiben. Dann sieht die Verteilungsfunktion so aus:
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-2 \\ -\bruch{a^4}{32}+\bruch{1}{2}
, & \mbox{für } -2 \le x \le 0 \\ \bruch{a^4}{32}+\bruch{1}{2}
, & \mbox{für } 0 < x \le 2 \\ 1
, & \mbox{für } x>2 \end{cases}
[/mm]
Erwartungswert und Varianz lassen sich auf gleicher Weise berechnen, nur die Formel ist anders:
Ex = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}
[/mm]
VARx = [mm] (\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*f(x) dx}) [/mm] - [mm] (Ex)^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Sa 17.03.2007 | | Autor: | yogi |
Vielen Dank für die tolle Hilfe mit meinen Stochastikproblemen!
Ich habe das mit der Verteilungsfunktion verstanden. Den Erwartungswert konnte ich soweit auch berechnen und es ist logisch, dass er gleich 0 sein muss:
[mm]E[x] = \integral_{-2}^{0}{x*\bruch{-x^3}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{x*\bruch{x^3}{8} dx}=\integral_{-2}^{0}{\bruch{-x^4}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{\bruch{x^4}{8} dx}=0-\bruch{32}{40}+\bruch{32}{40}-0=0[/mm]
(stimmt doch soweit?!?)
Zu der Varianz habe ich:
[mm] V[X]=E[X^2]-(E[X])^2
[/mm]
da [mm]E[X]=0[/mm] ist auch [mm] (E[X])^2=0
[/mm]
und [mm] E[X^2] [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*f(x) dx}=\integral_{-2}^{0}{x^2*\bruch{-x^3}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{x^2*\bruch{x^3}{8} dx}=\integral_{-2}^{0}{-\bruch{x^5}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{\bruch{x^5}{8} dx}=0-\bruch{64}{48}+\bruch{64}{48}-0=0
[/mm]
somit wäre [mm]V[X]=0-0=0[/mm] aber das hätte ich nicht erwartet. Die Varianz muss doch eigentlich größer als Null sein, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Sa 17.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe das mit der Verteilungsfunktion verstanden. Den
> Erwartungswert konnte ich soweit auch berechnen und es ist
> logisch, dass er gleich 0 sein muss:
> [mm]E[x] = \integral_{-2}^{0}{x*\bruch{-x^3}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{x*\bruch{x^3}{8} dx}=\integral_{-2}^{0}{\bruch{-x^4}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{\bruch{x^4}{8} dx}=0-\bruch{32}{40}+\bruch{32}{40}-0=0[/mm]
>
> (stimmt doch soweit?!?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Zu der Varianz habe ich:
> [mm]V[X]=E[X^2]-(E[X])^2[/mm]
> da [mm]E[X]=0[/mm] ist auch [mm](E[X])^2=0[/mm]
> und [mm]E[X^2][/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*f(x) dx}=\integral_{-2}^{0}{x^2*\bruch{-x^3}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{x^2*\bruch{x^3}{8} dx}=\integral_{-2}^{0}{-\bruch{x^5}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{\bruch{x^5}{8} dx}=0-\bruch{64}{48}+\bruch{64}{48}-0=0[/mm]
>
> somit wäre [mm]V[X]=0-0=0[/mm] aber das hätte ich nicht erwartet.
> Die Varianz muss doch eigentlich größer als Null sein,
> oder?
Hier liegt dein Fehler:
[mm] $\integral_{-2}^{0}{-\bruch{x^5}{8} dx=\frac{64}{48}=\frac{4}3}$
[/mm]
Muss auch so sein, weil [mm] $-x^5$ [/mm] und [mm] $x^5$ [/mm] symmetrisch um Null liegen.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 So 18.03.2007 | | Autor: | yogi |
Ah ja. Stimmt.
Dann also:
[mm]V[X]=E[X^2]-(E[X])^2[/mm]
da [mm]E[X]=0[/mm] ist auch [mm](E[X])^2=0[/mm]
und [mm]E[X^2][/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*f(x) dx}=\integral_{-2}^{0}{x^2*\bruch{-x^3}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{x^2*\bruch{x^3}{8} dx}=\integral_{-2}^{0}{-\bruch{x^5}{8} dx}+\integral_{0}^{2}{\bruch{x^5}{8} dx}=0+\bruch{64}{48}+\bruch{64}{48}-0=\bruch{8}{3}[/mm]
Damit ist [mm] V[X]=\bruch{8}{3}-0=\bruch{8}{3}
[/mm]
Super. Soweit hab ich das alles verstanden.
Nun fehlen nur noch die Quantile. Ich habe nicht ganz verstanden wie ich die berechnen muß. Die Erklärung von Andy123 hat nicht ganz gereicht. Ich weiss was Quantile sind und was die Ausdrücken aber nicht wie ich jetzt für meine Verteilungsfunktion berechnen kann wie das 0,25 Quantil aussieht...
Hat noch jemand eine einfache Erklärung? Danke schonmal für eure Mühe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 So 18.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Nun fehlen nur noch die Quantile. Ich habe nicht ganz
> verstanden wie ich die berechnen muß. Die Erklärung von
> Andy123 hat nicht ganz gereicht. Ich weiss was Quantile
> sind und was die Ausdrücken aber nicht wie ich jetzt für
> meine Verteilungsfunktion berechnen kann wie das 0,25
> Quantil aussieht...
> Hat noch jemand eine einfache Erklärung? Danke schonmal
> für eure Mühe!
Bezeichnet $F$ die Verteilungsfunktion, so ist das [mm] $p\times [/mm] 100$%-Quantil [mm] $x_p$ [/mm] implizit definiert durch [mm] $F(x_p)=p$, [/mm] (sofern $F$ streng moton steigt. Ist hier erfuellt, braucht dich nicht weiter zu keummern). Loese die Gleichung nach [mm] $x_p$ [/mm] auf. $F$ wurde an anderer Stelle in diesem Thread schon bestimmt.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mo 19.03.2007 | | Autor: | yogi |
Achso: Jetzt verstehe ich auch was Andy geschrieben hat
[mm] F_X(x)=\begin{cases} -\bruch{x^4}{32}+\bruch{1}{2}
, & \mbox{für } -2 \le x < 0 \\ \end{cases}
[/mm]
$ [mm] -\bruch{x^4}{32}+\bruch{1}{2}=p [/mm] $
$ [mm] 0,5-p=\bruch{x^4}{32} [/mm] $
$ [mm] 16-32p=x^4 [/mm] $
$ [mm] 16*(1-2p)=x^4 [/mm] $
$ [mm] 2*(1-2p)^{\bruch{1}{4}}=x [/mm] $
das bedeutet, dass ich um das 0.25-Quantil zu bekommen die Verteilungsfunktion gleich 0,25 setzte - in diesem Fall [mm] x=(16-32*0.25)^{\bruch{1}{4}}=-\wurzel[4]{8}\approx-1.6818
[/mm]
Das würde für das 0.75-Quantil bedeuten:
0.75 liegt in der "zweiten Hälfte der Kurve" also rechts von Null somit:
[mm] p=\bruch{x^4}{32}+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] p\to0.75
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0.75=\bruch{x^4}{32}+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw x=\wurzel[4]{8}\approx1.6818
[/mm]
Das wäre ja eigentlich auch logisch, weil die Funktion symmetrisch um den Nullpunkt ist und somit das 0.25-Quantil und das 0.75-Quantil "gleichweit entfernt" von Null sein müssten.
Hab ich's?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mo 19.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Das wäre ja eigentlich auch logisch, weil die Funktion
> symmetrisch um den Nullpunkt ist und somit das 0.25-Quantil
> und das 0.75-Quantil "gleichweit entfernt" von Null sein
> müssten.
>
> Hab ich's?
>
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Für mich wäre es sehr interessant wie man Aufgaben Teil b und c macht da ich an diesen Stellen gerade festhänge.
Benötigt man bei den Quantilen dann die vierte Wurzel? oder wie löst man das?
Gruß Jack
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo Jack,
mit $ a= [mm] \bruch{1}{8} [/mm] $ kann man schreiben:
Dichtefunktion:
[mm] f_X(x)= \begin{cases}
-\bruch{1}{8}*x^3, & \mbox{für } -2 \le x < 0 \\
\bruch{1}{8}*x^3, & \mbox{für } 0 \le x \le 2 \\
0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
Verteilungsfunktion:
[mm] F_X(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-2 \\ -\bruch{x^4}{32}+\bruch{1}{2}
, & \mbox{für } -2 \le x < 0 \\ \bruch{x^4}{32}+\bruch{1}{2}
, & \mbox{für } 0 \le x \le 2 \\ 1
, & \mbox{für } x>2 \end{cases}
[/mm]
Die Formeln zur Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz stehen ebenfalls in dem Beitrag von Mary15.
Erwartungswert:
da bereits erkannt wurde, dass die Dichte symmetrisch um null ist,
erübrigt sich eine Rechnung. $ E[X] = 0 $.
Wendet man die o.g. Formel an, so kann man schreiben:
$ [mm] E[X]=\int_{-\infty}^\infty{x*f(x)dx}=\int_{-2}^0{x*\bruch{-x^3}{8}}dx+\int_{0}^2{x*\bruch{x^3}{8}}dx [/mm] $
Varianz:
$ [mm] V[X]=E[X^2]-(E[X])^2 [/mm] $
Analog zum Erwartungswert kann $ [mm] E[X^2] [/mm] $ berechnet werden mit
$ [mm] E[X^2]=\int_{-\infty}^\infty{x^2*f(x)dx} [/mm] $
Quantilfunktion:
Schau Dir hier die beiden Fälle der Verteilungsfunktion an und löse diese nach $ x $ auf:
[mm] F_X(x)=\begin{cases} -\bruch{x^4}{32}+\bruch{1}{2}
, & \mbox{für } -2 \le x < 0 \\ \end{cases}
[/mm]
$ [mm] -\bruch{x^4}{32}+\bruch{1}{2}=p [/mm] $
$ [mm] 0,5-p=\bruch{x^4}{32} [/mm] $
$ [mm] 16-32p=x^4 [/mm] $
$ [mm] 16*(1-2p)=x^4 [/mm] $
$ [mm] 2*(1-2p)^{\bruch{1}{4}}=x [/mm] $
d.h.
[mm] F^{-1}{(p)}=\begin{cases} 2*(1-2p)^{\bruch{1}{4}}
, & \mbox{für } 0 < p < 0,5 \end{cases}
[/mm]
Analoge Vorgehensweise für $ 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 $.
Hilft Dir das weiter?
Grüße
Andy
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Super
danke Andy das hilft mir weiter ;)
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nochmal eine Frage zu der Verteilungsfunktion.
Wieso steht da die Stammfunktion + 0.5?
Ich habe noch ein paar Musterlösungen anderer Aufgaben und da ist in Verteilungsfunktion immer nur die Stammfunktion !?
Wann muss man noch etwas addieren? und wie rechnet man es aus?
Muss man was addieren wenn es mindestens 2 Funktionen sind auf unterschiedlichen Bereichen? Oder nur bei Betragsfunktionen?
Also muss man 0,5 addieren bei 2 Funktionen 0,33 bei 3 Funktionen?
Gruß Jack
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Sorry das ich es nochmal als Frage stelle aber die Mitteilung ist wohl untergegangen.
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nochmal eine Frage zu der Verteilungsfunktion.
Wieso steht da die Stammfunktion + 0.5?
Ich habe noch ein paar Musterlösungen anderer Aufgaben und da ist in Verteilungsfunktion immer nur die Stammfunktion !?
Wann muss man noch etwas addieren? und wie rechnet man es aus?
Muss man was addieren wenn es mindestens 2 Funktionen sind auf unterschiedlichen Bereichen? Oder nur bei Betragsfunktionen?
Muss man also 0,5 addieren bei 2 Funktionen, 0,33 bei 3 Funktionen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Di 20.03.2007 | | Autor: | luis52 |
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> nochmal eine Frage zu der Verteilungsfunktion.
> Wieso steht da die Stammfunktion + 0.5?
>
Nicht jede Stammfunktion $G$ leistet $G(-2)=0$ und $G(+2)=1$, was man hier braucht. Bedenke, dass $F(x)$ als Wahrscheinlichkeit zu interpretieren ist, so dass [mm] $0\le F(x)\le [/mm] 1$ gelten muss.
hth
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