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| Aufgabe | Sei n eine positive ganze Zahl. Sei D die Menge der Diagonalmatrizen der Dimension n, d.h. D besteht aus allen n [mm] \times [/mm] n-Matrizen [mm] A=(a_{ij}), [/mm] für die gilt [mm] a_{ij}=0 [/mm] für alle i [mm] \not= [/mm] j .
Zeigen Sie:
Sei [mm] A=(a_{ij}) \in [/mm] D. Dann ist A invertierbar genau dann, wenn gilt [mm] a_{ii} \not= [/mm] für i=1,...,n.
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Hallo,
Also ich habe mir schon einige Gedanken darüber gemacht. [mm] a_{ii} [/mm] heißt ja, dass ich eine quadratische Matrix brauche. Ich weiß auch was invertierbar heißt. Ich kanns nicht genau definieren, aber anwenden.
Ich bin mir nur nicht sicher, wie ich jetzt den Beweis liefern soll...
Könnt ihr mir dabei bitte helfen?
Viele Grüße
Informacao
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> Sei n eine positive ganze Zahl. Sei D die Menge der
> Diagonalmatrizen der Dimension n, d.h. D besteht aus allen
> n [mm]\times[/mm] n-Matrizen [mm]A=(a_{ij}),[/mm] für die gilt [mm]a_{ij}=0[/mm] für
> alle i [mm]\not=[/mm] j .
>
Hallo,
oben wird zunächst die Menge D erklärt.
Sie besteht aus nxn- Matrizen mit einer besonderen Eigenschaft:
Für [mm] A=(a_{ij}) [/mm] ist für alle [mm] i\not=j a_{ij}=0.
[/mm]
[mm] A=(a_{ij}) [/mm] ist eine abkürzende Schreibweise für
[mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ... & a_{3n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{3n1} & a_{n2} & a_{n3} & ... & a_{nn} }
[/mm]
[mm] a_{ij} [/mm] bezeichnet das Element in der i-ten Zeile in der j-ten Spalte.
Nun steht oben [mm]a_{ij}=0[/mm] für alle i [mm]\not=[/mm] j.
Schau nun genau hin. Welches sind die Elemente, die =0 sind?
Und welche dürfen [mm] \not=0 [/mm] sein.
Die Bezeichnung Diagonalmatrizen kommt also nicht von ungefähr...
> Zeigen Sie:
> Sei [mm]A=(a_{ij}) \in[/mm] D. Dann ist A invertierbar genau dann,
> wenn gilt [mm]a_{ii} \not=[/mm] für i=1,...,n.
So. Nun soll A soll A eine beliebige Diagonalmatrix sein.
Es wird behauptet, daß sie invertierbar ist <==> [mm] a_{ii}\not=0 [/mm] für alle i.
Der i-te Platz in der i-ten Zeile soll also [mm] \not= [/mm] 0 sein für alle i.
Also [mm] a_{11}, a_{22},...,a_{nn} \not=0.
[/mm]
Zum Begriff invertierbar: Eine nxn-Matrix R heißt invertierbar, wenn es eine nxn-Matrix S gibt, so daß RS die Einheitsmatrix ist, also lauter Einsen auf der Hauptdiagonalen.
Zur Vorgehensweise: probier zunächst mit ein paar kleinen Matrizen mit echten Zahlen aus, wie das ist mit der Invertierbarkeit und wie die Inversen aussehen. Wenn Dir das klar geworden ist, kann Dein Beweis starten.
So z. B.:
Sei [mm] A=(a_{ij}) [/mm] Diagonalmatrix mit [mm] a_{ii}\not=0 [/mm] für alle i=1,...,n.
Betrachte die Matrix [mm] B=(b_{ij}) [/mm] mit [mm] b_{ij}=...
[/mm]
Dies ist eine Di... .
Es ist AB=...,,
also ist A invertierbar.
Oh. Das war die Rückrichtung!
Dann die Hinrichtung:
Sei [mm] A=(a_{ij}) [/mm] Diagonalmatrix und sei A invertierbar.
Dann gibt es eine Matrix B mit AB=...
Vergleich der Matrixelemente ergibt...
Gruß v. Angela
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Hi,
danke schonmal. Ich habs die ganze Zeit versucht, aber ich schaffs einfach nicht..diesen Beweis hinzuschreiben. mir ist es klar, warum das so ist, aber ich weiß nicht, wie ich das schreiben muss..?? Kannst du mir das vll mal zeigen?
Danke im Vorraus!
Informacao
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Informacao |
könnt ihr mir bitte helfen =)ich hab mich zwar eben nochmal drangsetze, aber es nicht geschafft, aber ich brauchs morgen leider schon
viele grüße
informacao
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mi 25.10.2006 | | Autor: | DesterX |
hallo!
habt ihr schon die determinate definiert?
mit ihr wäre das auch recht leicht zu beweisen...
gruß,
dester
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Hallo,
hast Du denn mal die Inversen von kleinen Matrizen gesucht?
Von [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 4 } [/mm] z.B.?
Von [mm] \pmat{ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 }
[/mm]
Dabei müßte Dir eine Idee kommen für die Wahl von B bei (ich zitiere mich):
So z. B.:
Sei $ [mm] A=(a_{ij}) [/mm] $ Diagonalmatrix mit $ [mm] a_{ii}\not=0 [/mm] $ für alle i=1,...,n.
Betrachte die Matrix $ [mm] B=(b_{ij}) [/mm] $ mit $ [mm] b_{ij}=... [/mm] $
Dies ist eine Di... .
Es ist AB=...,,
also ist A invertierbar.
Ich finde, ich habe Dir da schon ziemlich viel Vorlage fürs Aufschreiben des Beweises geliefert.
Gruß v. Angela
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hallo,
nein, das mit der determinante haben wir noch nicht. ich weiß du hast mir schon viel gezeigt, ich kanns auch nachvollziehen, ich weiß nur nicht, wie ich den beweis aufschreiben soll!
könnt ihr mir bitte helfen..ich brauch das ;)
danke!
informacao
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Hallo,
ich weiß nicht, ob Du diesen Satz schon kennst:
Sei K ein Körper und [mm]A \in M_{n n}(K)[/mm]. A ist invertierbar genau dann, wenn die Zeilen-/(Spalten)vektoren von A eine Basis von [mm] K^n [/mm] bilden.
Zur Erläuterung: [mm]M_{nn}(K)[/mm] ist die Menge der [mm]n \times n[/mm]-Matrizen mit Einträgen aus K.
Als Voraussetzung: Die nxn-Matrix A ist eine Diagonalmatrix mit [mm]a_{ii} \ne 0\;\forall 1 \le i \le n[/mm].
Wie sieht denn dann die i-te Zeile von A aus  ? Links/rechts von Position (i,i) stehen nur nullen; und auf Pos. (i,i) was von 0 verschiedenes. Als Stichwörter fallen mir da ein: Standardbasis von [mm] K^n; [/mm] Basisaustauschsatz. Denn die Zeilen von A sind ja man sowas von linear unabhängig oder ?
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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Hallo
hastDu inzwischen denn die Inversen von
$ [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 4 } [/mm] und von $ [mm] \pmat{ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 } [/mm] $
gesucht?
Hast Du sie gefunden?
Wenn ja? Wie sehen sie aus? Was vermutest Du, wie das Inverse der "allgemeinen" Diagonalmatrix aussieht?
Wenn ich wüßte, WAS Du nicht "ordentlich" formulieren kannst, könnte ich Dir sicher helfen.
Falls Du sie nicht finden konntest: was hast Du getan, um sie zu finden? An welcher Stelle ist es gescheitert? Auch das würden wir gewiß klären können.
Ich sage es ganz deutlich:
ich habe ein großes Interesse daran, daß Du die Aufgabe verstehst und lösen kannst.
Ob Du zum Abgabetermin eine korrekte Aufgabe auf dem Zettel stehen hast, ist mir egal.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
ersteinmal ein grosses lob an dich, das du dich hier so ausführlich einsetzt!
Ich beschäftige mich auch mit dieser Aufgabe undzwar hab ich mir folgendes überlegt:
deine zahlenmatrizen hab ich mir angeschaut und bin zu dem entschluss gekommen, dass [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 4 } [/mm] keine inverse Matrix hat die 2te aber schon und zwar:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{7} }.
[/mm]
So nun hab ich mich an den allgemeinen Beweis gewagt; an dieser stelle muss ich sagen das ich auch probleme beim "hinschreiben" habe
Also
Beh: Sei A = [mm] (a_{ij}) \in [/mm] D. Dann ist A invertierbar, genau dann, wenn gilt [mm] a_{ii} \not= [/mm] 0 für i = 1, ...., n
Bew: Nehme an: A = [mm] a_{ij} \in [/mm] D mit [mm] a_{ii} \not= [/mm] 0 für i = 1, ... , n
Betrachte die Matrix B = [mm] (b_{ij}) [/mm] mit [mm] b_{ij} [/mm] = [mm] a^{-1}_{11}, a^{-2}_{22}, [/mm] ... , [mm] a^{-n}_{nn}
[/mm]
Ich vermute "b" ist nicht ganz richtig augedrückt, villeicht kannst du mir da helfen
Ich weiss, dass die Inverse Matrix wie folgt aussehen muss:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ a^{-1}_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a^{-2}_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a^{-n}_{nn} }
[/mm]
denn multipliziert mit A kommt man genau auf die Einheitsmatrix!
Wie zeige ich jetzt das die inverse Matrix auch in D sein muss?
Ich hoffe du kannst mir da ein wenig helfen, weil gerade diese grundlagen momentan für mich am wichtigsten sind.
mfG
adrenaline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Do 26.10.2006 | | Autor: | Informacao |
Hallo,
genau das selbe problem habe ich!
ich weiß nicht, wie ich den beweis genau hinschreiben soll! ich hab auch schon "rumgerechnet" aber ich weiß nicht.......
bitte helft mir!
viele grüße v.
Informacao
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Also ich hab hier irgendwie noch ein wenig rumprobiert:
Betrachte Matrix B = [mm] b_{ij} [/mm] = 0 für i [mm] \not= [/mm] j und [mm] b_{ii} \not= [/mm] 0 wobei i = 1, ..., n und
[mm] b_{ii} [/mm] = [mm] a^{-1}_{11}, [/mm] ..., [mm] a^{-n}_{nn}.
[/mm]
Villeicht kommt das dem Beweis schon näher, ich bin mir nicht sicher, freu mich auf Antworten :)
bis denn
adrenaline
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Do 26.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja so kannst du ansetzen und dann zeigst du einfach ganz allgemein, dass A*B=E und B*A=E (E=Einheitsmatrix) , dann ist B nämlich die (eindeutige) Inverse und dass B eine Diagonalmatrix ist, ist doch offensichtlich, oder?
Aber in der Aufgabe, die ganz oben steht, geht es nicht darum zu zeigen, dass die Inverse wieder eine Diagonalmatrix ist (oder hab ich was überlesen?).
Wie wurde denn Invertierbarkeit definiert - bzw welche Kriterien dürfen als bekannt vorrausgesetzt werden ?!?
(wenn der Rang voll sein muss, wäre der Beweis recht einfach)
viele grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:16 Do 26.10.2006 | | Autor: | Informacao |
ja, das ist mir klaar..könnt ihr mir nicht einfach mal den beweis so aufschreiben, ich habs verstanden, aber ich kann das nicht aufschreibeen..!
viele grüße
informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Do 26.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
zwei Dinge:
1) wenn du es versucht hast (und auch verstanden), wieso schreibst du deine Versuche hier nicht mal hin?
Sprechen lernt man durch Sprechen und Beweisen durch Beweisen.
Es bringt nichts ,wenn wir dir die Arbeit abnehmen.
2) Ich hatte explizit danach gefragt, wie ihr Invertierbarkeit definiert habt bzw. welche Kriterien ihr schon hattet.
Ich (und wie man oben lesen kann auch einige andere) könnten dir doch 10 verschiedene Beweise hier aufschreiben - aber wir wissen nicht, was Vorraussetzung bei dir ist.
Versuch dich bitte doch mal bitte daran (und schreib es hier auch auf) und sag uns vorher, welches Kriterium du verwenden willst/darfst.
viele grüße
DaMenge
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> deine zahlenmatrizen hab ich mir angeschaut und bin zu dem
> entschluss gekommen, dass [mm]\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 4 }[/mm] keine
> inverse Matrix hat
Du hast recht.
Eigentlich wollte ich eine andere Matrix schreiben...
die 2te aber schon und zwar:
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{7} }.[/mm]
[mm] A^{-1} [/mm] = $ [mm] \pmat{ a^{-1}_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a^{-2}_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a^{-n}_{nn} } [/mm] $
> denn multipliziert mit A kommt man genau auf die
> Einheitsmatrix!
Fein.
Wir nennen die Matrix da oben jetzt B, definieren sie mit den [mm] b_{ij} [/mm] und zeigen, daß es die inverse Matrix zu A ist.
Ich gehe davon aus, daß Ihr die Darstellung der Produktmatrix schon gehabt habt.
Sei [mm] B:=(b_{ij}) [/mm] eine nxn-Matrix, mit
[mm] b_{ij}=0 [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] (das bedeutet, daß die Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen [mm] \not=0 [/mm] sind, also ist B eine Diagonalmatrix) und
[mm] b_{ij}=a^{-1}_{ij} [/mm] für i=j (die Elemente auf der Hauptdiagonalen. Da, wo i=j ist).
Da nach Voraussetzung [mm] a_{ij}\not=0 [/mm] für i=j, gibt es die [mm] a^{-1}_{ij} [/mm] für alle [mm] i\not=j.
[/mm]
Es sei nun C:= [mm] AB=(c_{ij}) [/mm]
Wie sieht das Element, welches in der i-ten Zeile an j-ter Stelle steht aus?
Man bekommt es, indem man die i-te Spalte von a mit der j-ten Zeile von B multipliziert.
Also [mm] c_{ij}=\summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}
[/mm]
(Das ist die besagte Darstellung der Produktmatrix. Es sagt aus :jede Zeile mit jeder Spalte multiplizieren, addieren. ich denke, Du verstehst, was ich meine, Matrizenmultiplikation.)
Ausgeschrieben sieht das so aus:
[mm] c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+ [/mm] ... + [mm] a_{in}b_{nj}
[/mm]
Nun wissen wir ja, daß die [mm] a_{ij} [/mm] außerhalb der Hauptdiagonalen =0 sind, ebenso wie die [mm] b_{ij} [/mm] außerhalb der Hauptdiagonalen.
Für [mm] i\not= [/mm] j ist obenstehender Ausdruck [mm] c_{ij}=0,
[/mm]
also ist AB eine Diagonalmatrix.
(Bevor ich mir für die Begründung den Mund fusselig rede, gucken wir mal, was für i=1 und j=3 passiert:
[mm] c_{13}=a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33}+ [/mm] ... + [mm] a_{1n}b_{n3}
[/mm]
[mm] =a_{11}*0+0*0+0*b_{33}+ [/mm] ... + 0*0=0)
Für i=j ist [mm] c_{ij}=a_{ii}b_{jj}=a_{ii}b_{ii}=a_{ii}a_{ii}^{-1}=1,
[/mm]
d.h. Einsen auf der Hauptdiagonalen.
(Wer's nicht glaubt, berechnet für i=2=j
[mm] c_{22}=a_{i21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}+ [/mm] ... + [mm] a_{2n}b_{n2}=a_{22}b_{22})
[/mm]
Insgesamt erhält man: C=AB ist die Einheitsmatrix, daher ist das oben definierte B die inverse Matrix zu A.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 So 29.10.2006 | | Autor: | adrenaline |
Hey angela,
danke für die ausführliche antwort, ich hab mich da jetzt mal dran versucht und das blatt abgegeben, mal sehen ob ich es richtig hingeschrieben habe, gebe dann bescheid!
mfG
adrenaline
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