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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 02.07.2013 | | Autor: | Dajohre |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Matrix
A= [mm] \pmat{ 3 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 0 }
[/mm]
eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Geben Sie außerdem Matrizen S; S^-1 sowie eine Diagonalmatrix
D an, so dass S^-1AS = D ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe als Eigenwerte { 2 , (-1/2)+ [mm] \wurzel{-39}/-2 [/mm] , (-1/2)- [mm] \wurzel{-39}/-2 [/mm] } heraus.
Der Eigenvektor von 2 ist [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Der Rest war ziemlich kompliziert zu Rechnen und ich bin auf keinen grünen Zweig gekommen.
Ein Onlinerechner liefert mir die Vektoren
[mm] \vektor{5-6,244i \\ -2+12,489 \\ 16}
[/mm]
und
[mm] \vektor{5+6,244i \\ -2-12,489 \\ 16}
[/mm]
Meine Fragen wären:
Wie bilde ich daraus eine Orthonormalbasis?
S und D sind warscheinlich nicht beliebig,
allerdings weiß ich nicht genau was die Werte sein müssen.
Meine Vermutung wäre:
D= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & (-1/2)+ \wurzel{-39}/-2 & 0 \\ 0 & 0 & (-1/2)- \wurzel{-39}/-2 }
[/mm]
Falls das stimmt wie komme ich dann auf S?
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Hallo,
> Bestimmen Sie für die Matrix
>
> A= [mm]\pmat{ 3 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Geben Sie
> außerdem Matrizen S; S^-1 sowie eine Diagonalmatrix
> D an, so dass S^-1AS = D ist.
> Habe als Eigenwerte { 2 , (-1/2)+ [mm]\wurzel{-39}/-2[/mm] ,
> (-1/2)- [mm]\wurzel{-39}/-2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} heraus.
2 ist OK, aber laut ![[]](/images/popup.gif) WolframAlpha sollten die Vorzeichen der anderen beiden Eigenwerte anders lauten (ohne "-").
> Der Eigenvektor von 2 ist [mm]\vektor{4 \\ -1 \\ 2}[/mm]
Ja.
> Der Rest war ziemlich kompliziert zu Rechnen und ich bin
> auf keinen grünen Zweig gekommen.
>
> Ein Onlinerechner liefert mir die Vektoren
>
> [mm]\vektor{5-6,244i \\ -2+12,489 \\ 16}[/mm]
>
> und
>
>
> [mm]\vektor{5+6,244i \\ -2-12,489 \\ 16}[/mm]
Ja.
> Meine Fragen wären:
>
> Wie bilde ich daraus eine Orthonormalbasis?
Damit so etwas überhaupt geht, müsste die Matrix normal sein... Ist sie aber nicht!
Also existiert so eine Basis nicht!
Angenommen es würde gehen, dann müssten die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten bereits senkrecht aufeinanderstehen. Da du 3 verschiedene Eigenwerte hast, müsstest du diese nur noch normieren (Länge 1).
Dann ist S die Matrix, welche entsteht, wenn du die normierten Eigenvektoren in die Spalten schreibst (1. Spalte = 1. Eigenvektor, 2. Spalte = 2. Eigenvektor, ...)
Sollte es mehrere Eigenvektoren zu einem Eigenwert geben (hier nicht der Fall), kannst du das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren verwenden, um eine Orthonormalbasis zu erreichen.
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Du kannst bei deinem Beispiel zwar keine Orthonormalbasis finden, aber zumindest hast du eine Basis aus Eigenvektoren. Wenn du die in die Spalten der Matrix S schreibst, gilt trotzdem:
$D = [mm] S^{-1} [/mm] A S$.
Dann ist deine Vermutung
> Meine Vermutung wäre:
>
> D= [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & (-1/2)+ \wurzel{-39}/-2 & 0 \\ 0 & 0 & (-1/2)- \wurzel{-39}/-2 }[/mm]
richtig. (Sofern die Reihenfolge der Eigenvektoren in S mit der Reihenfolge der Eigenwerte in D übereinstimmt).
Viele Grüße,
Stefan
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