Diagonalmatrix Frage < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:13 Mi 20.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo zusammen, ich habe noch eine Frage.
ich habe eine Matrix A
[mm] \bruch{1}{6} \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 &2}
[/mm]
jetz soll ich zeigen dass es eine orthogonale Matrix S gibt, mit [mm] D=S^{-1}AS [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Ichmöchte wissen ob ich es so machen kann.
1) Eigenwerte und Eigenvektoren finden.
2) Die Eigenvektoren als Spalte in eine Matrix schreiben.
Muss mann hier die Eigenvektoren mit Gramm Schmidt methode orthogonalisieren??
dann findet man ja die inverse. und dann kommt schon ein D raus.und die Diagonale sind die Eigenwerte.
dieses Skalar vor dem Matrix stört mich.
Muss man das jedes element zu erst mit disem Skalar multiplizieren , und dann das char polynom finden? oder kann ich später mit disem skalar mein polynom multipliziren? Danke für die Anworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hallo,
> Ichmöchte wissen ob ich es so machen kann.
> 1) Eigenwerte und Eigenvektoren finden.
> 2) Die Eigenvektoren als Spalte in eine Matrix schreiben.
>
> Muss mann hier die Eigenvektoren mit Gramm Schmidt methode
> orthogonalisieren??
> dann findet man ja die inverse. und dann kommt schon ein D
> raus.und die Diagonale sind die Eigenwerte.
Ja, das ist in etwa richtig so. Die Eigenvektoren musst Du orthonormalisieren, othogonal sind sie von alleine, falls du drei verschiedene Eigenräume bekommst. Bekommst Du einen zweidimensionalen Eigenraum raus, so musst Du die Basis die Du für diesen Raum bekommst mit Gram-Schmidt orthonormalisieren. Die Eigenräume sind von alleine orthogonal, aber wenn Du einen Eigenraum bekommst mit einer Dimension größer als 1, so denkst Du dir ja dort eine Basis aus, die nicht von alleine eine orthonormal Basis ist.>
> dieses Skalar vor dem Matrix stört mich.
Mich auch...
> Muss man das jedes element zu erst mit disem Skalar
> multiplizieren , und dann das char polynom finden? oder
> kann ich später mit disem skalar mein polynom
> multipliziren? Danke für die Anworten.
Du kannst entweder den Skalar zuerst mit jedem MAtrixeintrag multiplizieren und dann auf der Diagonalen [mm] \lambda [/mm] abziehen und die Determinante berechnen, oder Du lässt [mm] \bruch{1}{6} [/mm] vorne, ziehst auf der Diagonalen zum Ausgleich [mm] 6\lambda [/mm] ab und berechnest die Determinante und multiplizierst das Polynom am Ende mit [mm] \left(\bruch{1}{6}\right)^3.
[/mm]
Das liegt daran, dass
[mm]DET(\alpha \cdot A)=\alpha^n \cdot DET(A)[/mm] gilt
wobei n die Dimension der Matrix ist.
Gruß,
Jazzy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Mi 20.07.2005 | | Autor: | NECO |
Danke
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