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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Diagonalisieren Sie die Matrix
[mm] G=\bruch{1}{49}\pmat{ 115 & -16 & 12 & 12 \\ -16 & 139 & 6 &6 \\ 12 & 6 & 118 & 20\\ 12 & 6 & 20 & 118 }
[/mm]
orthogonal. Hinweis: Die Vektoren [mm] w_{1}=1/7(1,4,4,4)^T, w_{2}=1/7(5, -1,6,6)^T, w_3=1/7(4,2,-5,2)^T w_4= [/mm] (8,4, -3.-3) sind Eigenvektoren von G. |
Guten Morgen,
eig. weiß ich schon, wie man diag., aber was mich hier einwenig irritiert ist, dass da "orthogonal" steht. Heißt das, dass ich erst einmal gn normal diagonalisiere und danach schaue ob es eine ONB aus den EV gibt?
Danke schonmal im Voraus.
Lg Laura
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> Diagonalisieren Sie die Matrix
>
> [mm]G=\bruch{1}{49}\pmat{ 115 & -16 & 12 & 12 \\
-16 & 139 & 6 &6 \\
12 & 6 & 118 & 20\\
12 & 6 & 20 & 118 }[/mm]
>
>
> orthogonal. Hinweis: Die Vektoren [mm]w_{1}=1/7(1,4,4,4)^T, w_{2}=1/7(5, -1,6,6)^T, w_3=1/7(4,2,-5,2)^T w_4=[/mm]
> (8,4, -3.-3) sind Eigenvektoren von G.
> Guten Morgen,
>
>
> eig. weiß ich schon, wie man diag., aber was mich hier
> einwenig irritiert ist, dass da "orthogonal" steht. Heißt
> das, dass ich erst einmal gn normal diagonalisiere und
> danach schaue ob es eine ONB aus den EV gibt?
Hallo,
daß es eine ONB aus Eigenvektoren gibt, steht hier nicht zur Debatte.
Es ist eine Eigenschaft symmetrischer Matrizen, und mit einer solchen hast Du es hier zu tun.
Oben hast Du ja schon eine Eigenbasis gegeben.
Ich würd' jetzt mal schauen, welcher EV zu welchem EW gehört.
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind ja "automatisch" orthogonal.
Du mußt dann nur noch innerhalb der einzelnen Eigenräume orthogonalisieren.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
danke zu nächs für deine Antwort. Ich habe gerade angefangen, dass char. Pol. zu berechnen. Das ist ja extrem lang. Ich habe es mit dem Entwickeln nach einer Zeile (zwei mal) gemacht. Gibt es ein schnelleres Verfahren?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Di 19.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> danke zu nächs für deine Antwort. Ich habe gerade
> angefangen, dass char. Pol. zu berechnen.
Das ist nicht nötig ! Du hast doch 4 Eigenvektoren [mm] w_1,...,w_4 [/mm] gegeben, im Hinweis.
Nun mach das damit, was Angela Dir geraten hat.
FRED
> Das ist ja extrem
> lang. Ich habe es mit dem Entwickeln nach einer Zeile (zwei
> mal) gemacht. Gibt es ein schnelleres Verfahren?
>
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
sry, dass ich nochmal nachfragen muss, aber ich brauche doch noch die EW. Wie bestimme ich die den nur mit den EV und ohne das char. Pol.?
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> sry, dass ich nochmal nachfragen muss, aber ich brauche
> doch noch die EW. Wie bestimme ich die den nur mit den EV
> und ohne das char. Pol.?
Hallo,
wie ist denn "Eigenvektor" definiert?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
soooo ich habe jetzt die Eigenwerte berechnet:
hieraus folgt für [mm] w_1 [/mm] --> [mm] \lambda_1=3
[/mm]
für [mm] w_2 [/mm] --> [mm] \lambda_2=3
[/mm]
für [mm] w_3 [/mm] --> [mm] \lambda_3=2
[/mm]
für [mm] w_4 [/mm] --> [mm] \lambda_4= [/mm] 2/7
jetzt muss ich für [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] das gramm schmidt verfahren anwenden, da die anderen EV schon orthogonal sind.
Hab ich das richtigt verstanden?
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Hallo Laura87,
> soooo ich habe jetzt die Eigenwerte berechnet:
>
> hieraus folgt für [mm]w_1[/mm] --> [mm]\lambda_1=3[/mm]
> für [mm]w_2[/mm] --> [mm]\lambda_2=3[/mm]
> für [mm]w_3[/mm] --> [mm]\lambda_3=2[/mm]
> für [mm]w_4[/mm] --> [mm]\lambda_4=[/mm] 2/7
>
Hier hast Du Dich verrechnet.
Es muss [mm]\lambda_{4}=\lambda_{3}=2[/mm] sein.
> jetzt muss ich für [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] das gramm schmidt verfahren
> anwenden, da die anderen EV schon orthogonal sind.
> Hab ich das richtigt verstanden?
Ja, und für die Eigenvektoren des anderen Eigenwertes
musst Du das auch machen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
danke für den Hinweis.
Ich habe es jetzt für die ersten beiden Eigenwerte berechnet, bzw. versucht. Irgendwie klappt es nicht so recht.
Den ersten Basisvektor [mm] v_1 [/mm] berechnet man zu
[mm] v_1=\bruch{w_1}{\parallel w_1\parallel}= 1/7(1,4,4,4)^T
[/mm]
Der zweit [mm] v_2
[/mm]
[mm] v_2=\bruch{w_2-v_1}{\parallel w_2-v_1 \parallel}=\bruch{\bruch{1}{343} \vektor{ 220\\-149\\194\\194}}{\parallel \bruch{1}{343} {\vektor{ 220\\-149\\194\\194}} \parallel}
[/mm]
wo ist mein Fehler?
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Hallo Laura87,
> Hallo,
>
> danke für den Hinweis.
>
> Ich habe es jetzt für die ersten beiden Eigenwerte
> berechnet, bzw. versucht. Irgendwie klappt es nicht so
> recht.
>
> Den ersten Basisvektor [mm]v_1[/mm] berechnet man zu
>
> [mm]v_1=\bruch{w_1}{\parallel w_1\parallel}= 1/7(1,4,4,4)^T[/mm]
>
Hier stellst Du fest, daß [mm]v_{1}=w_{1}[/mm]
> Der zweit [mm]v_2[/mm]
>
> [mm]v_2=\bruch{w_2-v_1}{\parallel w_2-v_1 \parallel}=\bruch{\bruch{1}{343} \vektor{ 220\\-149\\194\\194}}{\parallel \bruch{1}{343} {\vektor{ 220\\-149\\194\\194} \parallel}[/mm]
>
> wo ist mein Fehler?
Der Vektor [mm]w_2-v_1[/mm] ist nicht richtig berechnet worden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
[mm] v_2=\bruch{w_2-v_1}{\parallel w_2-v_1 \parallel}=\bruch{\bruch{1}{7} \vektor{ 4\\-5\\2\\2}}{\parallel \bruch{1}{7} {\vektor{ 4\\-5\\2\\2} \parallel}}= [/mm]
den nenner kann ich noch ausrechnen zu 1/49
ich glaube so müsste es stimmen
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Hallo Laura87,
> [mm]v_2=\bruch{w_2-v_1}{\parallel w_2-v_1 \parallel}=\bruch{\bruch{1}{7} \vektor{ 4\\-5\\2\\2}}{\parallel \bruch{1}{7} {\vektor{ 4\\-5\\2\\2} \parallel}}=[/mm]
>
> den nenner kann ich noch ausrechnen zu 1/49
>
Der Nenner ist doch 1.
> ich glaube so müsste es stimmen
Ja, so stimmt's. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hey Mathepower,
ich habe es jetzt auch konntrolliert und [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind tatsächlich orthogonal.
Analog würde ich jetzt [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] berechnen. Aber was muss ich danach machen. Ich soll ja diagonalisieren? Muss ich die nun orthogonalen Vektoren zu S aufspannen und die Transformationsmatrix bestimmen?
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Hallo Laura87,
> Hey Mathepower,
>
> ich habe es jetzt auch konntrolliert und [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind
> tatsächlich orthogonal.
> Analog würde ich jetzt [mm]v_3[/mm] und [mm]v_4[/mm] berechnen. Aber was
> muss ich danach machen. Ich soll ja diagonalisieren? Muss
> ich die nun orthogonalen Vektoren zu S aufspannen und die
> Transformationsmatrix bestimmen?
Schreibe jetzt diese Vektoren in die Matrix S.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
habs doch nicht so schnell hinbekommen
für [mm] v_3 [/mm] habe ich
[mm] \bruch{\bruch{1}{7}(4,2,-5,2)^T}{\bruch{1}{7}}=(4/49,2/49,-5/49,2/49)^T
[/mm]
das kommt mir nicht ganz richtig vor
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Hallo Laura87,
> habs doch nicht so schnell hinbekommen
>
> für [mm]v_3[/mm] habe ich
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{7}(4,2,-5,2)^T}{\bruch{1}{7}}=(4/49,2/49,-5/49,2/49)^T[/mm]
>
> das kommt mir nicht ganz richtig vor
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{\bruch{1}{7}(4,2,-5,2)^T}{\bruch{1}{7}}=(4,2,-5,2)^T[/mm]
,da im Zähler derselbe Bruch wie im Nenner steht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
danke  (war echt blöd von mir )
[mm] v_4=\bruch{\vektor{-188\\-94\\242\\-101}}{\parallel \vektor{-188\\-94\\242\\-101}}
[/mm]
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Hallo Laura87,
> danke (war echt blöd von mir )
>
> [mm]v_4=\bruch{\vektor{-188\\-94\\242\\-101}}{\parallel \vektor{-188\\-94\\242\\-101}}[/mm]
>
Den Vektor musst Du nochmal nachrechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
das habe ich mir schon gedacht, aber ich komme immer wieder auf das gleiche:
für [mm] w_4-v_3=\vektor{8\\4\\-3\\-3}-(8*4+4*2+(-3)*(-5)+(-3)*(2))*\vektor{4\\2\\-5\\2}=\vektor{8\\4\\-3\\-3}-49\vektor{4\\2\\-5\\2}=\vektor{-188\\-94\\242\\-101}
[/mm]
:-S
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Hallo Laura87,
> das habe ich mir schon gedacht, aber ich komme immer wieder
> auf das gleiche:
>
> für
> [mm]w_4-v_3=\vektor{8\\4\\-3\\-3}-(8*4+4*2+(-3)*(-5)+(-3)*(2))*\vektor{4\\2\\-5\\2}=\vektor{8\\4\\-3\\-3}-49\vektor{4\\2\\-5\\2}=\vektor{-188\\-94\\242\\-101}[/mm]
>
[mm]v_{3}[/mm] ist doch [mm]\bruch{1}{7}\vektor{4\\2\\-5\\2}[/mm]
> :-S
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
Ich dachte 1/7 lässt sich wegkürzen:
>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{7}(4,2,-5,2)^T}{\bruch{1}{7}}=(4,2,-5,2)^T[/mm]
>
> ,da im Zähler derselbe Bruch wie im Nenner steht.
>
>
> Gruss
> MathePower
hab ich da was falsch verstanden?
Und noch eine Frage, damit ich nicht gleich nochmal fragen muss.
Wenn ich die Matrix S mit den berechneten Vektoren aufgestellt habe, muss ich dann noch die Transformationsmatrix berechnen?
S hätte ich ja dann schon und A (in diesem Fall G) ist ja bereits in der Aufgabenstellung gegeben. Bleibt noch die Inverse S^-1.
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Hallo Laura87,
> Ich dachte 1/7 lässt sich wegkürzen:
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> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> >
> [mm]\bruch{\bruch{1}{7}(4,2,-5,2)^T}{\bruch{1}{7}}=(4,2,-5,2)^T[/mm]
> >
> > ,da im Zähler derselbe Bruch wie im Nenner steht.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> hab ich da was falsch verstanden?
>
Offenbar jast Du einen gegebenen Vektor durch dessen Betrag geteilt.
Dabei hat der Vektor schon den Betrag 1.
> Und noch eine Frage, damit ich nicht gleich nochmal fragen
> muss.
> Wenn ich die Matrix S mit den berechneten Vektoren
> aufgestellt habe, muss ich dann noch die
> Transformationsmatrix berechnen?
>
S ist die Transformationsmatrix.
> S hätte ich ja dann schon und A (in diesem Fall G) ist ja
> bereits in der Aufgabenstellung gegeben. Bleibt noch die
> Inverse S^-1.
Die lässt sich leicht berechnen, da S eine orthonormale Matrix ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Do 21.06.2012 | | Autor: | Laura87 |
vielen vielen dank! Ohne eure Hilfe haette ich das nie hinbekommen.
Lg Laura
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