Diagonalisieren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 So 30.01.2011 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Sei V ein endlicher k-Vektorraum und sei Phi ein Endomorphismus von V.
Seien [mm] \lambda 1,...\lambda [/mm] r alle Eigenwerte von Phi.
Beweisen Sie das folgende Aussagen äquivalent sind:
a)Überpruefen Sie Phi auf Diagonalisierbarkeit
b)Es gilt V [mm] =\oplus^r [/mm] i=1 [mm] Eig(\varphi;\lambdai) [/mm] |
Hi,
Mit Bestimmung von Eigenwerten,Räumen etc dachte ich mich einigermaßen auszukennen. Diagonalisierbarkeit kann ich an Matrizen gut überprüfen. Doch hier stehe ich leicht auf dem Schlauch.
Hier kann ich doch eigentlich nur anhand des Charakteristischen Polynoms beweisen das Phi diagonalisierbar ist oder ?
lg
Florian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 So 30.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hi coup,
> Sei V ein endlicher k-Vektorraum und sei Phi ein
> Endomorphismus von V.
> Seien [mm]\lambda 1,...\lambda[/mm] r alle Eigenwerte von Phi.
> Beweisen Sie das folgende Aussagen äquivalent sind:
>
> a)Überpruefen Sie Phi auf Diagonalisierbarkeit
>
> b)Es gilt V [mm]=\oplus^r[/mm] i=1 [mm]Eig(\varphi;\lambdai)[/mm]
Mir ist nicht klar, was die Aussagen a) und b) bei dir überhaupt bedeuten sollen. Meine Interpretation wäre:
a) [mm] \varphi [/mm] ist diagonalisierbar
b) V ist die direkte Summe der Eigenräume mit den Eigenwerten [mm] \lambda_i (1\leq i\leq [/mm] r)
Dann kann man [mm] b)\Rightarrow [/mm] a) etwa so zeigen:
Die Summe von Eigenräumen ist direkt (Beweis geht induktiv). Wenn also die direkte Summe der Eigenräume V ist (nach b), so können wir die Basiselemente der Eigenräume zu einer Basis [mm] B=\{b_1,\ldots, b_n\} [/mm] von V zusammenfügen. Es gibt also eine Basis von V, die aus Eigenvektoren besteht. Das ist aber eine äquivalente Formulierung zur Diagonalisierbarkeit (ist dir das bekannt?).
[mm] a)\Rightarrow [/mm] b):
Die Matrix der linearen Abbildung [mm] \varphi [/mm] ist diagonalisierbar, bzw. V hat eine Basis aus Eigenvektoren. Was kann man daraus über die direkte Summe der Eigenräume schlussfolgern?
Hoffe, das hilft :)
Gruß, pyw
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