Diagonalisierbrkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 So 05.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | [mm] \pmat{ s+1 & 2-s & 0 \\ 2-s & s+1 & 0 \\ 2-0,5s & 1-0,5s & s }
[/mm]
Aufgabe:
Es sind alle s [mm] \in \IR [/mm] zu bestimmen, für die [mm] A_{s} [/mm] diagonalisierbar ist. |
Guten Morgen an alle,
ich kenne die Definitionen, wann eine Matrix diagonalisierbar ist, weiß aber trotzdem nicht ganz, wie ich hier vorgehen soll.
Die Eigenwerte habe ich schonmal berechnet, die benötige ich ja bestimmt:
1) s
2) 2s-1
3) 3
Könnte mir jemand bitte nochmal in eigenen Worten erklären, wann eine Matrix diagonalisierbar ist und mir bitte die Schritte einzelnd näherbringen, die ich jetzt zu tun habe?
Ich bitte um eure Hilfe 
Paula
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Hallo paula_88,
> [mm]\pmat{ s+1 & 2-s & 0 \\ 2-s & s+1 & 0 \\ 2-0,5s & 1-0,5s & s }[/mm]
>
> Aufgabe:
> Es sind alle s [mm]\in \IR[/mm] zu bestimmen, für die [mm]A_{s}[/mm]
> diagonalisierbar ist.
> Guten Morgen an alle,
> ich kenne die Definitionen, wann eine Matrix
> diagonalisierbar ist, weiß aber trotzdem nicht ganz, wie
> ich hier vorgehen soll.
>
> Die Eigenwerte habe ich schonmal berechnet, die benötige
> ich ja bestimmt:
> 1) s
> 2) 2s-1
> 3) 3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Könnte mir jemand bitte nochmal in eigenen Worten
> erklären, wann eine Matrix diagonalisierbar ist und mir
> bitte die Schritte einzelnd näherbringen, die ich jetzt zu
> tun habe?
Eine quadratische Matrix ist diagonalisierbar, wenn
die algebraische Vielfachheit eines jeden Eigenwertes
mit der entsprechenden geometrischen Vielfachheit
übereinstimmt.
Für den Fall, daß einfache Eigenwerte vorliegen,
ist nichts zu tun.
Der interessante Fall ist der, wenn mehrfache Eigenwerte vorliegen.
Hier liegt z.B. ein doppelter Eigenwert vor wenn,
i) s=2s-1.
ii) s=3
iii) 2s-1=3
Untersuche die zugehörige Dimension des Eigenraums für diese Fälle.
Es bleibt dann noch der Falle eines dreifachen Eigenwertes zu klären.
>
> Ich bitte um eure Hilfe
> Paula
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 05.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die Antwort.
Ich werde mich jetzt an die Arbeit machen, habe zwischendurch aber noch ein paar Fragen:
> Hallo paula_88,
>
> > [mm]\pmat{ s+1 & 2-s & 0 \\ 2-s & s+1 & 0 \\ 2-0,5s & 1-0,5s & s }[/mm]
>
> >
> > Aufgabe:
> > Es sind alle s [mm]\in \IR[/mm] zu bestimmen, für die [mm]A_{s}[/mm]
> > diagonalisierbar ist.
> > Guten Morgen an alle,
> > ich kenne die Definitionen, wann eine Matrix
> > diagonalisierbar ist, weiß aber trotzdem nicht ganz, wie
> > ich hier vorgehen soll.
> >
> > Die Eigenwerte habe ich schonmal berechnet, die benötige
> > ich ja bestimmt:
> > 1) s
> > 2) 2s-1
> > 3) 3
>
>
>
>
>
> >
> > Könnte mir jemand bitte nochmal in eigenen Worten
> > erklären, wann eine Matrix diagonalisierbar ist und mir
> > bitte die Schritte einzelnd näherbringen, die ich jetzt zu
> > tun habe?
>
>
> Eine quadratische Matrix ist diagonalisierbar, wenn
> die algebraische Vielfachheit eines jeden Eigenwertes
> mit der entsprechenden geometrischen Vielfachheit
> übereinstimmt.
Was bedeutet das genau? In einfachen Worten?
>
> Für den Fall, daß einfache Eigenwerte vorliegen,
> ist nichts zu tun.
Muss ich zu den einfachen Eigenwerten trotzdem was schreiben oder zeigen, damit ich für die Aufgabe volle Punktzahl bekomme oder muss ich die nichteinmal benennen?
>
> Der interessante Fall ist der, wenn mehrfache Eigenwerte
> vorliegen.
>
> Hier liegt z.B. ein doppelter Eigenwert vor wenn,
>
> i) s=2s-1.
> ii) s=3
> iii) 2s-1=3
>
> Untersuche die zugehörige Dimension des Eigenraums für
> diese Fälle.
Ich habe folgende doppelte Eigenwerte:
1) Eigenwert 3, wenn s=3
2) Eigenwert 3, wenn s=2
3) Eigenwert 1, wenn s=1
Heißt das jetzt, dass ich die Dimensionen der Eigenräume von
1) $ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0,5 & -1 & 0 \\ -0,5 & 0,5 & 0 } [/mm] $
2) $ [mm] \pmat{ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 } [/mm] $
3) $ [mm] \pmat{ -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1,5 & -0,5 & 1 } [/mm] $
berechnen muss?
Ich habe jeweils für x und s in die Matrix eingesetzt, die ich benutzt habe, um die Eigenwerte zu berechnen: $ [mm] \pmat{ x-s-1 & -2+s & 0 \\ -2+s & x-s-1 & 0 \\ -2+0,5s & -1+0,5s & x-s } [/mm] $
Für die 2. und 3. Matrix habe ich die Zeilenstufenumforumung geschafft und das GS gelöst:
2)
Ich habe zuerst das -1-fache der 1. von der 2. Zeile abgezogen und danach das -1,5-fache der 2. von der 3. abgezogen und diese Matrix erhalten:
[mm] \pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Beim Lösen des GS habe ich z=1 gesetzt und somit den Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] erhalten.
3) Hier habe ich sofort das GS aufgestellt, habe ja genügend Nullen:
Ich habe wieder z=1 gesetzt und somit den Vektor [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] erhalten.
Ist das richtig und wie komme ich jetzt auf die Dimension?
Bei der ersten Matrix komme ich nicht auf die Zeilenstufenform, kann mir da jemand einen Tip geben?
Und wenn ich diese Dimensionen berechnet habe, was passiert dann, was hat mir das gebracht?
>
> Es bleibt dann noch der Falle eines dreifachen Eigenwertes
> zu klären.
Den gibt es doch nicht, oder?
Muss ich das trotzdem zeigen, dass dieser nicht existiert?
>
>
> >
> > Ich bitte um eure Hilfe
> > Paula
>
>
> Gruss
> MathePower
Ich hoffe auf schnelle Hilfe
Paula
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Hallo paula_88,
> Vielen Dank für die Antwort.
> Ich werde mich jetzt an die Arbeit machen, habe
> zwischendurch aber noch ein paar Fragen:
>
> > Hallo paula_88,
> >
> > > [mm]\pmat{ s+1 & 2-s & 0 \\ 2-s & s+1 & 0 \\ 2-0,5s & 1-0,5s & s }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Aufgabe:
> > > Es sind alle s [mm]\in \IR[/mm] zu bestimmen, für die [mm]A_{s}[/mm]
> > > diagonalisierbar ist.
> > > Guten Morgen an alle,
> > > ich kenne die Definitionen, wann eine Matrix
> > > diagonalisierbar ist, weiß aber trotzdem nicht ganz, wie
> > > ich hier vorgehen soll.
> > >
> > > Die Eigenwerte habe ich schonmal berechnet, die benötige
> > > ich ja bestimmt:
> > > 1) s
> > > 2) 2s-1
> > > 3) 3
> >
> >
> >
> >
> >
> > >
> > > Könnte mir jemand bitte nochmal in eigenen Worten
> > > erklären, wann eine Matrix diagonalisierbar ist und mir
> > > bitte die Schritte einzelnd näherbringen, die ich jetzt zu
> > > tun habe?
> >
> >
> > Eine quadratische Matrix ist diagonalisierbar, wenn
> > die algebraische Vielfachheit eines jeden Eigenwertes
> > mit der entsprechenden geometrischen Vielfachheit
> > übereinstimmt.
>
> Was bedeutet das genau? In einfachen Worten?
Die Vielfachheit eines jeden Eigenwertes im charakteristichen Polynom
muß der Dimension des zugehörigen Eigenraumes entsprechen.
> >
> > Für den Fall, daß einfache Eigenwerte vorliegen,
> > ist nichts zu tun.
>
> Muss ich zu den einfachen Eigenwerten trotzdem was
> schreiben oder zeigen, damit ich für die Aufgabe volle
> Punktzahl bekomme oder muss ich die nichteinmal benennen?
> >
> > Der interessante Fall ist der, wenn mehrfache Eigenwerte
> > vorliegen.
> >
> > Hier liegt z.B. ein doppelter Eigenwert vor wenn,
> >
> > i) s=2s-1.
> > ii) s=3
> > iii) 2s-1=3
> >
> > Untersuche die zugehörige Dimension des Eigenraums für
> > diese Fälle.
>
> Ich habe folgende doppelte Eigenwerte:
> 1) Eigenwert 3, wenn s=3
> 2) Eigenwert 3, wenn s=2
> 3) Eigenwert 1, wenn s=1
>
Stimmt.
> Heißt das jetzt, dass ich die Dimensionen der Eigenräume
> von
> 1) [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0,5 & -1 & 0 \\ -0,5 & 0,5 & 0 }[/mm]
>
> 2) [mm]\pmat{ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 }[/mm]
> 3)
> [mm]\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1,5 & -0,5 & 1 }[/mm]
>
> berechnen muss?
Diese Matrizen musst Du nochmal nachrechnen.
> Ich habe jeweils für x und s in die Matrix eingesetzt,
> die ich benutzt habe, um die Eigenwerte zu berechnen:
> [mm]\pmat{ x-s-1 & -2+s & 0 \\ -2+s & x-s-1 & 0 \\ -2+0,5s & -1+0,5s & x-s }[/mm]
>
> Für die 2. und 3. Matrix habe ich die
> Zeilenstufenumforumung geschafft und das GS gelöst:
> 2)
> Ich habe zuerst das -1-fache der 1. von der 2. Zeile
> abgezogen und danach das -1,5-fache der 2. von der 3.
> abgezogen und diese Matrix erhalten:
>
> [mm]\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Beim Lösen des GS habe ich z=1 gesetzt und somit den
> Vektor [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm] erhalten.
>
> 3) Hier habe ich sofort das GS aufgestellt, habe ja
> genügend Nullen:
> Ich habe wieder z=1 gesetzt und somit den Vektor
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] erhalten.
>
> Ist das richtig und wie komme ich jetzt auf die Dimension?
>
> Bei der ersten Matrix komme ich nicht auf die
> Zeilenstufenform, kann mir da jemand einen Tip geben?
>
> Und wenn ich diese Dimensionen berechnet habe, was passiert
> dann, was hat mir das gebracht?
>
>
> >
> > Es bleibt dann noch der Falle eines dreifachen Eigenwertes
> > zu klären.
>
> Den gibt es doch nicht, oder?
Das musst Du erst zeigen.
> Muss ich das trotzdem zeigen, dass dieser nicht
> existiert?
>
> >
> >
> > >
> > > Ich bitte um eure Hilfe
> > > Paula
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ich hoffe auf schnelle Hilfe
> Paula
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 06.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | $ [mm] \pmat{ s+1 & 2-s & 0 \\ 2-s & s+1 & 0 \\ 2-0,5s & 1-0,5s & s } [/mm] $
Zu bestimmen sind alle t [mm] \in \IR, [/mm] für die [mm] A_{s} [/mm] diagonalisierbar ist. |
Vielen Dank für die Antwort Mathepower.
Ich habe meine Matrizen nochmal nachgerechnet, die waren ja völlig falsch
Nochmal:
Ich möchte ja jetzt prüfen, ob die Matrix auch für die doppelten Eigenwerte diagonalisierbar ist.
Für s=3:
[mm] A_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0,5 & -0,5 & 3 }
[/mm]
mit Eigenwert 3:
E(A,3) = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0,5 & -0,5 & 0 }
[/mm]
in Zeilenstufenform bringen:
[mm] \sim \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0,5 & -0,5 & 0 } \sim \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
durch das GS komme ich auf die Vektoren:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Für s=2:
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }
[/mm]
mit Eigenwert 3:
E(A,3) = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 }
[/mm]
Hier habe ich sofort das GS berechnet:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Für s=1:
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 1 }
[/mm]
mit Eigenwert 1:
E(A,3) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 0 }
[/mm]
in Zeilenstufenform bringen:
[mm] \sim \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 0 } \sim \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 }
[/mm]
GS berechnen:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Soo das war jetzt alles etwas knapp zusammengefasst, müsste aber verständlich sein
Wie komme ich jetzt auf die Dimension, was ist noch zu tun als letzter Schritt? Den kenne ich nicht, könne mir das bitte jemand an einem der drei doppelten Eigenwerte demonstrieren?
Die Aufgabe muss gleich fertig sein
Vielen Dank für die Hilfe, Paula
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