Diagonalisierbarkeit von Matri < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo forum,
ich habe hier folgende aufgabe vorliegen:
pruefen sie nach, ob die matrix A:
A := [mm] \pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 3 }
[/mm]
diagonalisierbar ist, und berechnen sie ihre eigenwerte und eigenvektoren. geben sie - wenn moeglich - eine regulaere matrix C an mit C^-1AC = diag(d11,d22).
ich habe nun das charakteristische polynom mit:
[mm] \lambda [/mm] ^2 - 6 [mm] \lambda [/mm] + 9
bestimmt und die eigenwerte zu matrix A mit:
[mm] \lambda [/mm] 1 = 3
[mm] \lambda [/mm] 2 = 3
die dazu gehoerigen eigenvektoren sahen bei mir so aus:
[mm] \pmat{ 1 \\ 0 }
[/mm]
nur wie gehts jetzt weiter? wo bekomm ich die matrix C her?
wie ist diagonalisierbarkeit definiert?
danke fuer eure hilfe
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Hallo,
> die dazu gehoerigen eigenvektoren sahen bei mir so aus:
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> [mm]\pmat{ 1 \\ 0 }[/mm]
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> nur wie gehts jetzt weiter? wo bekomm ich die matrix C
> her?
bestimme einen weiteren Vektor, der der folgenden Gleichung genügt:
[mm]\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^{2} \;e_{2} \; = \;0[/mm]
Dies ist äquivalent mit [mm]\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;e_{2} \; = \;e_{1} [/mm].
Den Vektor [mm]e_{1}[/mm] hast Du ja schon aus der Gleichung [mm]
\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;e_{1} \; = \;0[/mm] bestimmt.
> wie ist diagonalisierbarkeit definiert?
Eine lineare Selbstabbildung ist genau dann diagonalisiertbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes mit seiner algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
Die geometrische Vielfachheit ist so definiert:
[mm]d(\lambda )\; = \dim \left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)[/mm]
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] ist also die Dimension des zugehörigen Eigenraums [mm]{A\; - \;\lambda \;I}[/mm].
Die algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit der Nullstelle [mm]\lambda[/mm] im charakteristischen Polynom.
Gruß
MathePower
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