Diagonalisierbarkeit & Ähnlich < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:07 Sa 12.06.2010 | | Autor: | LittleGauss |
| Aufgabe | Seien [mm] A,B\in \IK^{nxn}, [/mm] sowie [mm] S,T\in GL(n,\IK) [/mm] invertierbare Matrizen, sodass:
TAS= [mm] \pmat{E_r&0\\0&0}=D=\pmat{ 1 &0...&&& ...0 ...&...0 \\0&1&0..&&&..0\\0&&1&&&...0\\ .\\&&&1..\\&&&&0...\\0...&&...&&...0.. & 0 }=: [/mm] N ,
wobei [mm] E_r \in \IK^{rxr} [/mm] die r-dim. Einheitsmatrix.
Zeigen sie:
a) [mm] P_{AN}=P_{NA} [/mm] (Dabei bedeutet P das charakteristische Polynom)
b) [mm] P_{AB}=P_{BA} [/mm] |
Hallo!
Ich muss also bei a) und b) zeigen, dass die beiden Matrizenprodukte das gleiche charakteristische Polynom haben.
Den Teil a) habe ich schon geschafft. Die Gleichheit AN=NA gilt, da N eine Diagonalmatrix ist und die Multiplikation mit Diagonalmatrizen kommutativ ist.
Also gilt auch [mm] P_{AN}=P_{NA}
[/mm]
zu b) weiß ich leider nicht wie ich vorgehen soll. Ich weiß zwar, dass A,B diagonalisierbar sind, da sie ja ähnlich zu einer Diagonalmatrix sind, aber das heißt ja noch nicht, dass AB=BA gilt, also, dass die Multiplikation kommutativ ist und damit ihr charakteristisches Polynom gleich ist.
Kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben??
Wäre echt toll!
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Wredi |
guck mal hier, das wurde heute schon hier behandelt.
MfG Wredi
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Danke! Hat mir weitergeholfen. Aus irgendeinem Grund bin ich zu dämlich die Sachen selber zu finden. Bei der Suche spuckt er völlig andere Themen aus.
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| Aufgabe | Ich hab da noch eine Frage zu b)
Zu zeigen ist ja [mm] P_{AB}=P_{BA}
[/mm]
Ich habe mir den Beweis im anderen Forum angeschaut.
(der englische/amerikanische Beweis von Howard)
Dort wird wie folgt vorgegangen, wenn man es mal auf meine Aufgabe und meine Matrizen überträgt:
[mm] TAS=\pmat{E_r&0\\0&0}:=N
[/mm]
Dann folgt: [mm] A=T^{-1}NS^{-1}=T^{-1}\pmat{E_r&0\\0&0}S^{-1}.
[/mm]
Bis dahin ist alles klar, aber dann wird gefolgert, dass:
B=SBT
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Wie kommt das zustande?? Woher weiß ich, dass diese Gleichheit gilt??
Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
![[]](/images/popup.gif) Hier ist nochmal der Link zu dem Beweis.
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> Ich hab da noch eine Frage zu b)
>
> Zu zeigen ist ja [mm]P_{AB}=P_{BA}[/mm]
>
> Ich habe mir den Beweis im anderen Forum angeschaut.
> (der englische/amerikanische Beweis von Howard)
>
> Dort wird wie folgt vorgegangen, wenn man es mal auf meine
> Aufgabe und meine Matrizen überträgt:
>
> [mm]TAS=\pmat{E_r&0\\0&0}:=N[/mm]
>
> Dann folgt: [mm]A=T^{-1}NS^{-1}=T^{-1}\pmat{E_r&0\\0&0}S^{-1}.[/mm]
>
> Bis dahin ist alles klar, aber dann wird gefolgert, dass:
>
> B=SBT
>
>
> Wie kommt das zustande?? Woher weiß ich, dass diese
Da wird die Matrix Bin Abhängigkeit von T und S geschrieben, wobei [mm] $B_{ij}$ [/mm] irgend eine Matrix mit passender Größe ist.:
$B = [mm] S\cdot\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} }\cdot [/mm] T$
Da diese [mm] $B_{ij}$ [/mm] noch nicht festgelegt sind, stimmt die Aussage ersteinmal. Jetzt wird gerechnet:
[mm]A\cdot B=T^{-1}\cdot\pmat{E_r&0\\0&0}\cdot S^{-1}\cdot S\cdot\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} }\cdot T=T^{-1}\cdot\pmat{E_r&0\\0&0}\cdot\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} }\cdot T=T^{-1}\cdot\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ 0 & 0 }\cdot T[/mm]
und noch einmal so
[mm]B\cdot A=S\cdot\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} }\cdot T\cdot T^{-1}\cdot\pmat{E_r&0\\0&0}\cdot S^{-1}=S\cdot\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} }\cdot \pmat{E_r&0\\0&0}\cdot S^{-1}=S\cdot\pmat{ B_{11} & 0 \\ B_{21} & 0 }\cdot S^{-1}[/mm]
Dann schaust du dir nur nach das charakteristische Polynom an. Also von
> Gleichheit gilt??
> Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
>
> Hier
> ist nochmal der Link zu dem Beweis.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:56 So 13.06.2010 | | Autor: | LittleGauss |
Du meintest wahrscheinlich
B= [mm] SBT=S\pmat{B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}}T [/mm]
oder?
Aber woher weiß ich denn, dass die Matrix B sich mit Hilfe von S und T so darstellen lässt? Das ist meine eigentliche Frage.
Kann ich da einfach sagen, dass B=SBT für beliebige S,T [mm] \in GL(n,\IK) [/mm] erfüllt ist, da die Gleichung einfach bedeutet, dass B ähnlich zu B ist, was natürlich für beliebige S,T gilt. Ist das die Begründung??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:52 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Du meintest wahrscheinlich
>
> B= [mm]SBT=S\pmat{B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}}T[/mm]
>
> oder?
Nein, das meint er nicht! Du definierst [mm] $B_{11}$, $B_{12}$, $B_{21}$, $B_{22}$ [/mm] gerade durch die Gleichung $B = S [mm] \pmat{B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}}T$, [/mm] oder umgeformt [mm] $\pmat{B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}} [/mm] = [mm] S^{-1} [/mm] B [mm] T^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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In meiner letzten Nachricht war wohl ein kleiner Fehler. Ich meinte, dass solche S,T [mm] \in GL(n,\IK) [/mm] existieren, dass B=SBT gilt.
Könnte mir jemand vielleicht helfen 2 kleine Fragen aufzuklären?
1.) Meint der Beweis mit
[mm] B=S\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} }T [/mm] , dass
B=SBT ???
Ist also B= [mm] \pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} } [/mm] ??
und 2.) Woher weiß ich denn, dass sich B wie folgt ausdrücken lässt:
B=SBT ???
Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte. ich steh da irgendwie auf dem schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> In meiner letzten Nachricht war wohl ein kleiner Fehler.
> Ich meinte, dass solche S,T [mm]\in GL(n,\IK)[/mm] existieren, dass
> B=SBT gilt.
Nein, das eben nicht! Sie meine Mitteilung dazu...
> Könnte mir jemand vielleicht helfen 2 kleine Fragen
> aufzuklären?
>
> 1.) Meint der Beweis mit
> [mm]B=S\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} }T[/mm] , dass
> B=SBT ???
Nein.
> Ist also B= [mm]\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} }[/mm] ??
Nein.
> und 2.) Woher weiß ich denn, dass sich B wie folgt
> ausdrücken lässt:
>
> B=SBT ???
Das laesst es sich i.A. nicht.
LG Felix
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Ok, dann habe ich verstanden wie es gemeint ist.
Das man es sich so definiert konnte ich überhaupt nicht herauslesen.
Dankeschön!
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