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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | | Gib die Diagonalmatrix an: [mm] \pmat{ 3 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] ? |
Hallo, leider komme ich hier nicht weiter, vielleicht kann mir jemand weiterhelfen. Also ich habe die Eigenwerte berechnet mit
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 3
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 2
[mm] \lambda_{3} [/mm] = 2
[mm] \lambda_{4} [/mm] = 2 .
Bei den Eigenvektoren habe ich jetzt Probleme:
für [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 , komme ich auf den Eigenvektor t [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 0} \forall [/mm] t [mm] \in \IR [/mm] .
Für [mm] \lambda [/mm] = 2 komme ich nicht weiter.
Also [mm] \pmat{ 3 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] - [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] .
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } \vektor{a \\ b \\ c \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] . Die Nullzeilen geben natürlich überhaupt keine Auskunft über a,b,c,d. Das folgende Gleichungssystem entsteht:
a + b - 2d = 0
2a + 2b - 4d = 0 | : 2
[mm] \Rightarrow [/mm] a + b -2d = 0
Also haben wir bloß die folgende Gleichung zur Verfügung: a + b - 2d = 0 .
d = [mm] \bruch{a + b}{2} [/mm] a= 2d - b b= 2d - a und c ist frei wählbar. Wie komme ich jetzt auf 3 verschieden Eigenvektoren. Ich habe das bei wolframalpha eingeg und das nennt mir: [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , aber ich hab wirklich keine Ahnung wie ich drauf komme...
Richler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mi 29.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gib die Diagonalmatrix an: [mm]\pmat{ 3 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> ?
> Hallo, leider komme ich hier nicht weiter, vielleicht kann
> mir jemand weiterhelfen. Also ich habe die Eigenwerte
> berechnet mit
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 2
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = 2
> [mm]\lambda_{4}[/mm] = 2 .
>
>
> Bei den Eigenvektoren habe ich jetzt Probleme:
>
> für [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3 , komme ich auf den Eigenvektor t
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 0} \forall[/mm] t [mm]\in \IR[/mm] .
>
> Für [mm]\lambda[/mm] = 2 komme ich nicht weiter.
>
> Also [mm]\pmat{ 3 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> - [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> .
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } \vektor{a \\ b \\ c \\ d}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] . Die Nullzeilen geben
> natürlich überhaupt keine Auskunft über a,b,c,d. Das
> folgende Gleichungssystem entsteht:
>
> a + b - 2d = 0
>
> 2a + 2b - 4d = 0 | : 2
> [mm]\Rightarrow[/mm] a + b -2d = 0
>
>
> Also haben wir bloß die folgende Gleichung zur Verfügung:
> a + b - 2d = 0 .
>
> d = [mm]\bruch{a + b}{2}[/mm] a= 2d - b b= 2d - a und c ist frei
> wählbar. Wie komme ich jetzt auf 3 verschieden
> Eigenvektoren. Ich habe das bei wolframalpha eingeg und das
> nennt mir: [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] , [mm]v_{3}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]v_{4}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> , aber ich hab wirklich keine Ahnung wie ich drauf komme...
>
> Richler
>
>
>
>
>
a=-b +2d
b= b
c= c
d= d
Siehst Du es jetzt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Richler |
Ah ich glaube, dass ich es sehe.. Die unteren 3 Werte der Eigenvektoren sind ja [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] , sodass damit jedes b, c, d erzeugt werden kann. und die obersten werte der vektoren sind ja immer a = -b + 2d, stimmt das? nur wie kann ich das jetzt mathematisch korrekt aufschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mi 29.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ah ich glaube, dass ich es sehe.. Die unteren 3 Werte der
> Eigenvektoren sind ja [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> , [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] , sodass damit jedes b, c, d
> erzeugt werden kann. und die obersten werte der vektoren
> sind ja immer a = -b + 2d, stimmt das? nur wie kann ich das
> jetzt mathematisch korrekt aufschreiben?
Wir hatten
a=-b +2d
b= b
c= c
d= d
Setzen wir b=t, c=s und d=r, so ergibt sich in vektorieller Form
(*) [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d}= t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+r*\vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
In (*) steht die allgemeine Lösung Deines LGS
Der Lösungsraum hat also die Basis
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, [/mm]
wobei man sich natürlich noch davon überzeugen muß, dass diese 3 Vektoren linear unabhängig sind.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Richler |
dankeschön für die hilfe =)
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