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Hallo ich habe Fragen zum Thema Diagonalisierbarkeit und hoffe, dass mir da jemand helfen kann und mag.
Gilt Rang der Matrix= Anzahl der Eigenwerte ungleich Null nur bei symmetrischen Matrizen? Zb bei einer nilpotenten 3x3-Matrix mit einem Eintrag in der obersten Rechten Ecke und sonst Nullen (ist damit nicht symmetrisch) hat Rang 1, hat aber nur Null als Eigenwert.
Und gibt es Tricks, wie man an einer Matrix schnell sehen kann, ob sie diagonalisierbar ist oder nicht, außer algebraische und geometrische Vielfachheit zu prüfen oder das charakteristische/bzw. minimalpolynom zu testen, ob es in linearfaktoren zerfällt? Lg
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moin Schachtel,
> Hallo ich habe Fragen zum Thema Diagonalisierbarkeit und
> hoffe, dass mir da jemand helfen kann und mag.
> Gilt Rang der Matrix= Anzahl der Eigenwerte ungleich Null
> nur bei symmetrischen Matrizen?
Gilt das überhaupt?
Nimm zum Beispiel mal die $3 [mm] \times [/mm] 3$ Einheitsmatrix.
Diese ist symmetrisch, hat Rang 3, aber nur einen Eigenwert ungleich 0 (die 1).
Bringst du allerdings die algebraischen Vielfachheiten mit ins Spiel so stimmt das wieder.
> Zb bei einer nilpotenten
> 3x3-Matrix mit einem Eintrag in der obersten Rechten Ecke
> und sonst Nullen (ist damit nicht symmetrisch) hat Rang 1,
> hat aber nur Null als Eigenwert.
Damit hast du dir deine Frage wohl selbst beantwortet.
Es gibt Matrizen, für die das nicht gilt.
Ich würde aber einfach mal annehmen, dass es auch nicht symmetrische gibt, für die die Aussage mit dem Rang gilt; allerdings fällt mir so spontan kein Beispiel ein.
> Und gibt es Tricks, wie man an einer Matrix schnell sehen
> kann, ob sie diagonalisierbar ist oder nicht, außer
> algebraische und geometrische Vielfachheit zu prüfen oder
> das charakteristische/bzw. minimalpolynom zu testen, ob es
> in linearfaktoren zerfällt? Lg
Wenn du die Jordanform kennst, dann geht es etwas schneller; vor allem wenn du eine Matrix hast, die bereits in Jordanform ist.
Wenn du sie noch nicht kennst dann keine Sorge, du lernst sie noch kennen. ;)
lg
Schadow
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Hallo, danke für deine Antwort :) .
Sorry ich habe das doof formuliert, denn solche Beispiele wie dein Beispiel mit der Einheitsmatrix sollte das was ich meinte eigentlich mit einbeziehen, also das auch die Eigenwerte gleich sein können.
Also ich suche vor allem Möglichkeiten, wie man an diagonalisierbaren Matrizen schnell sehen kann, wie die Eigenwerte aussehen.
(Ich hab noch so Probleme mich richtig und exakt auszudrücken, aber arbeite dran ;). )
Kennst du da einen korrekten Satz zu, in dem das exakt formuliert wird mit dem Rang? Mein Beispiel sollte ein Gegenbeispiel sein, dass es nicht gilt, wenn man die Symmetrie nicht vorraussetzt.
Jordannormalform/rationale kanonische Form habe ich schon kennengelernt:). Aber die bestimmt man doch nur, wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist, oder? Und um das herauszufinden, muss man doch auch im Kopf wieder kleinere Rechnungen machen? Oder was meinst du damit, das es damit schneller geht? Also jetzt ohne die Matrizen zu betrachten, die bereits in Diagonalgestalt oder in Jordanform sind ;).
Liebe Grüße
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Dass eine Matrix diagonalisierbar ist bedeutet, dass sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.
An einer Diagonalmatrix kann man die Eigenwerte sehr schön ablesen und es gilt deine Formel, also die Summe aller Eigenwerte ungleich 0 - mit algebraischen Vielfachheiten gezählt (das bedeutet doppelte Eigenwerte auch doppelt gezählt, etc.) - ist gleich dem Rang der Matrix.
Nun haben ähnliche Matrizen unter anderem den selben Rang und die selben Eigenwerte, von daher gilt deine Aussage also für alle diagonalisierbaren Matrizen.
Allerdings ist es kein brauchbares Kriterium für Diagonalisierbarkeit:
$A = [mm] \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}$
[/mm]
$A$ hat das char. Polynom [mm] $(x-1)^2$, [/mm] also zwei Eigenwerte ungleich 0 (mit algebraischen Vielfachheiten), dies ist auch der Rang von $A$.
Allerdings ist $A$ nicht diagonalisierbar.
Dies ist dann auch gleich die Antwort auf deine zweite Frage:
Ich meinte eigentlich nur Matrizen, die bereits in einer Jordanform sind, so wie etwa $A$ oben. Bei diesen ist es dann kein Problem zu sagen, dass sie nicht diagonalisierbar sind. Auch etwa $10*A$ oder ähnliches ließe sich mit Kenntnis über die Jordanform auch sofort als "nicht diagonalisierbar" abstempeln.
Und natürlich kann man Jordanformen auch bestimmen, wenn eine Matrix diagonalisierbar ist; hier sind nur die Diagonalmatrix und die Jordanform gleich.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Sa 31.03.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Achsoo okay =) vielen vielen Dank, das hat mir sehr geholfen! Habe jetzt dann keine Frage mehr.
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