Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Di 30.08.2005 | | Autor: | McHannu |
Moin,
ich bräuchte mal eine Art Kochrezept um zu überprüfen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist.
Was ich bisher verstanden habe, ist das geom. und algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes übereinstimmen müssen. Die alg. V. eines Eigenwertes einer Matrix erhalte ich aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms. z.B. ist mein Polynom [mm] -x^2-x^3 [/mm] also ist die Nullstelle -1 mit der alg. V. 1. Nun aber zur geometrischen Vielfachheit: hier bräuchte ich eine schrittweise Anleitung um die Vielfachheit zu bestimmen.
Wäre nett, wenn mir jmd. helfen könnte.
Gruß, McHannu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Di 30.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo McHannu!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ist [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von $A$, dann bedeutet das ja, dass es einen von $0$ verschiedenen Vektor (einen Eigenvektor zu [mm] $\lambda$) [/mm] gibt mit [mm] $Ax=\lambda [/mm] x$.
Anders ausgedrückt bedeutet das, dass das homogene lineare Gleichungssystem
$(A - [mm] \lambda [/mm] E)x=0$ ($E$ sei die Einheitsmatrix der "richtigen" Größe)
nicht nur die triviale Lösung $x=0$ besitzt. Der Lösungsraum dieses homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Vektorraum. Er hat also auch eine Dimension. Die Dimension dieses Vektorraums ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts [mm] $\lambda$.
[/mm]
Wie bestimmst du diese jetzt?
[mm] $A-\lambda [/mm] E$ ist ja eine quadratische Matrix. Diese Matrix kann man mit Hilfe des Gauß-Algorithmus auf Diagonalgestalt bringen. Am Schluss entstehen dann Nullzeilen, mindestens eine! (Sonst wäre [mm] $\lambda$ [/mm] kein Eigenwert!). Die Anzahl der entstehenden Nullzeilen ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts [mm] $\lambda$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Di 30.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Hilfreich für dich könnte auch dies hier
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=589
sein (die direkte Verlinkung hat leider nicht geklappt); es ist eine sehr gute Erklärung zu dem Thema mit vielen Beispielen.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Di 30.08.2005 | | Autor: | McHannu |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
Könnten wir das ganze mal an einem konkreten Bspl. machen. Die Matrix A
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
hat das charakteristische Polynom [mm] -x^2-x^3 [/mm] mit dem EW -1. Die alg. Vielfachheit ist also 1.
Als nächstes rechne ich doch (A+1E) aus, also
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Da ich nach Gauß die Spalten vertauschen kann, tausche ich Spalte 2 mit 1 und erhalte
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Und nu?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Di 30.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Eine Nullzeile bedeutet nun: Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes [mm] $\lambda=-1$ [/mm] beträgt $1$. Sie ist gleich der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes.
(Bei Eigenwerten mit algebraischer Vielfachheit $1$ brauchst du aber nichts zu überprüfen, da dort immer die geometrische Vielfachheit auch $1$ beträgt. Interessant wird es nur bei Eigenwerten mit einer höheren algebraischen Vielfachheit als $1$.)
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Di 30.08.2005 | | Autor: | McHannu |
Super, danke für die Antworten. Ich glaub jetzt hab ichs geschnallt.
|
|
|
|
