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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Do 17.03.2011 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | | Für welche a,b ist die Matrix [mm] B=\pmat{-3 & 2b & 10 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & b & 2} [/mm] diagonalisierbar? |
Hallo zusammen,
Eine Matrix ist ja genau dann diagonalisierbar, wenn sie n (=dim(V)) linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Um herauszufinden, ob eine Matrix diese Eigenschaft hat, kenne ich im allgemeinen Fall nur den Weg, die Eigenwerte zu bestimmen, und dann durch Elimination der entsprechenden charakteristischen Matrizen herauszufinden, wieviele freie Variable es dann gibt. Um zu sehen, ob diese Anzahl mit der algebraischen Vielfachheit der Eigenwerte übereinstimmt.
Aber dieses Vorgehen scheint mir kaum möglich zu sein in diesem Fall...
Leider ist auch nicht angegeben, ob a,b in [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] enthalten sind.
Ich hoffe, es kennt jemand einen schönen eleganten Weg, um diese Aufgabe zu lösen. 
Viele Grüße,
Vilietha
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Hallo Vilietha,
> Für welche a,b ist die Matrix [mm]B=\pmat{-3 & 2b & 10 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & b & 2}[/mm]
> diagonalisierbar?
> Hallo zusammen,
>
> Eine Matrix ist ja genau dann diagonalisierbar, wenn sie n
> (=dim(V)) linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Um
> herauszufinden, ob eine Matrix diese Eigenschaft hat, kenne
> ich im allgemeinen Fall nur den Weg, die Eigenwerte zu
> bestimmen, und dann durch Elimination der entsprechenden
> charakteristischen Matrizen herauszufinden, wieviele freie
> Variable es dann gibt. Um zu sehen, ob diese Anzahl mit der
> algebraischen Vielfachheit der Eigenwerte übereinstimmt.
>
> Aber dieses Vorgehen scheint mir kaum möglich zu sein in
> diesem Fall...
>
> Leider ist auch nicht angegeben, ob a,b in [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm]
> enthalten sind.
>
> Ich hoffe, es kennt jemand einen schönen eleganten Weg, um
> diese Aufgabe zu lösen.
Berechne zunächst die Eigenwerte der gegebenen Matrix.
Hat die Matrix 3 verschiedene Eigenwerte, dann ist sie diagonalisierbar.
Dann musst Du noch die Sonderfälle betrachten,
d. h. wenn 2 oder 3 gleiche Eigenwerte vorhanden sind.
Stelle dann die zugehörige Matrix zur Bestimmung
des Eigenraums auf.
Anhand der Dimension dieses Eigenraums kannst Du
auf die Diagonaliserbarkeit der Matrix schliessen.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Do 17.03.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine hilfreiche Antwort!
Ich werde deinen Vorschlag morgen ausprobieren.
Viele Grüße,
Vilietha
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