Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Do 07.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | Der Endomorphismius f [mm] \in End(\IR^{4}) [/mm] habe bzgl. der kanonischen Basis die Abb.matrix [mm] \pmat{ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & -3 }
[/mm]
Prüfen Sie, ob die Matrix diagonalisierbar ist und bestimmen Sie ggf. eine Basis des [mm] \IR^{4} [/mm] bzgl. der f als Abb.matrix eine Diagonalmatrix besitzt. |
Es ist ja so, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn Ihr charakteristisches Polynom sich als Produkt von Linearfaktoren darstellen lässt. Nur hier ist es (wenn ich mich nicht verrechnet habe) -4. Was heißt denn das? Ist sie nun diagonalisierbar und wie kann ich die dazugehörige Diagonalmatrix ausrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Do 07.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Der Endomorphismius f [mm]\in End(\IR^{4})[/mm] habe bzgl. der
> kanonischen Basis die Abb.matrix [mm]\pmat{ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & -3 }[/mm]
>
> Prüfen Sie, ob die Matrix diagonalisierbar ist und
> bestimmen Sie ggf. eine Basis des [mm]\IR^{4}[/mm] bzgl. der f als
> Abb.matrix eine Diagonalmatrix besitzt.
>
> Es ist ja so, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn
> Ihr charakteristisches Polynom sich als Produkt von
> Linearfaktoren darstellen lässt.
Fast. Das ist eine notwendige Voraussetzung fuer die Diagonalisierbarkeit, aber nicht hinreichend.
> Nur hier ist es (wenn ich
> mich nicht verrechnet habe) -4. Was heißt denn das?
Das du etwas falsches ausgerechnet hast ^^
Das charakteristische Polynom einer $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix ist ein normiertes Polynom von Grad 4. Du musst [mm] $\det(x E_4 [/mm] - A)$ ausrechnen, wobei [mm] $E_4$ [/mm] die $4 [mm] \times [/mm] 4$-Einheitsmatrix ist und $x$ eine Unbestimmte.
> Ist sie
> nun diagonalisierbar und wie kann ich die dazugehörige
> Diagonalmatrix ausrechnen?
Die Nullstellen vom char. Polynom sind die Eigenwerte. Zu den Eigenwerten rechnest du jeweils Basen der Eigenraeume aus. Wenn die Dimension der Eigenraeume mit der algebraischen Vielfachheit der Eigenwerte uebereinstimmt, ist die Matrix diagonalisierbar. In dem Fall nimmst du von jedem Eigenraum eine Basis und tust diese zusammen, dann erhaelst du eine Basis von [mm] $\IR^4$ [/mm] bzgl. dieser der Endomorphismus Diagonalform hat.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Do 07.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Ok, da hab ich mich wirklich verrechnet, die Eigenwerte hab ich jetzt. Wie kann ich daraus die Basen der Eigenräume ausrechnen und deren Dimension bestimmen?
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Hallo SEBBI001,
> Ok, da hab ich mich wirklich verrechnet, die Eigenwerte hab
> ich jetzt.
Ja welche denn und wieviele?
> Wie kann ich daraus die Basen der Eigenräume
> ausrechnen und deren Dimension bestimmen?
Berechne zu jedem Eigenwert [mm] $x_i$ [/mm] den Eigenraum, also den Kern von [mm] $x_i\cdot{}\mathbb{E}_4-A$
[/mm]
Bringe dazu wie üblich die Matrizen [mm] $x_i\cdot{}\mathbb{E}_4-A$ [/mm] in Zeilenstufenform ...
Rechne vor bzw. poste deine Rechnung für konkretere Rückfragen
LG
schachuzipus
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