Diagonalisierbarkeit < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lemma:
Zerfällt [mm] P_{\gamma} [/mm] in paarweise verschiedene linearfaktoren, so sind auch alle Eigenwerte (n Stück) verschieden und
V = [mm] \oplus [/mm] Eig [mm] (\lambda_{i}) [/mm] (Über [mm] \oplus [/mm] steht n , unter [mm] \oplus [/mm] steht i = 1)
Das bedeutet also: deg = n [mm] P_{\gamma} [/mm] = ( x - [mm] \lambda_{1}) [/mm] ( x - [mm] \lambda_{2} [/mm] ) .... ( x - [mm] \lambda_{n})
[/mm]
Ist dies der Fall, so gibt es eine Basis von V, so dass
Mat [mm] (\gamma) [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_{1} & 0 \\ ... & \lambda_{n} } [/mm] und
[mm] \gamma [/mm] heißt diagonalisierbar.
|
Hallo 
nunja, stehe gerade vor diesem Lemma,
werde aber irgendwie nicht schlau drauß.
Also was Eigenwerte sind und wie ich das Char. Polynom bestimme weiß ich .. Aber das oben mach tmir irgendwie Probleme.
Kann man es vllt. irgendwie "einfach / Umgangssprachlich" ausdrücken ? :)
vielen Dank im Voraus
lg
steffi
|
|
| |
|
> Lemma:
>
> Zerfällt [mm]P_{\gamma}[/mm] in paarweise verschiedene
> linearfaktoren, so sind auch alle Eigenwerte (n Stück)
> verschieden und
>
> V = [mm]\oplus[/mm] Eig [mm](\lambda_{i})[/mm] (Über [mm]\oplus[/mm] steht n , unter
> [mm]\oplus[/mm] steht i = 1)
>
> Das bedeutet also: deg = n [mm]P_{\gamma}[/mm] = ( x -
> [mm]\lambda_{1})[/mm] ( x - [mm]\lambda_{2}[/mm] ) .... ( x - [mm]\lambda_{n})[/mm]
>
> Ist dies der Fall, so gibt es eine Basis von V, so dass
>
> Mat [mm](\gamma)[/mm] = [mm]\pmat{ \lambda_{1} & 0 \\ ... & \lambda_{n} }[/mm]
> und
>
> [mm]\gamma[/mm] heißt diagonalisierbar.
>
>
> Hallo
>
> nunja, stehe gerade vor diesem Lemma,
> werde aber irgendwie nicht schlau drauß.
>
> Also was Eigenwerte sind und wie ich das Char. Polynom
> bestimme weiß ich .. Aber das oben mach tmir irgendwie
> Probleme.
>
> Kann man es vllt. irgendwie "einfach / Umgangssprachlich"
> ausdrücken ? :)
Hallo,
Mathematik ist ja von der Umgangssprache etwas entfernt.
Nützlich finde ich langsames Lesen, wobei man sich nach jedem Satz fragt: "Was ist das?" - wie im Kleinen Katechismus...
Wir haben also eine nxn-Matrix A.
> Zerfällt [mm]P_{\gamma}[/mm] in paarweise verschiedene
> linearfaktoren,
Dann kann man das charakteristische Polynom schreiben als [mm] X_A(x)=(x-\lambda_1)*...(x-\lambda_n).
[/mm]
>so sind auch alle Eigenwerte (n Stück)
> verschieden
Wenn die Linearfaktoren [mm] (x-\lambda_i) [/mm] paarweise verschieden sind, sind alle n Eigenwerte [mm] \lambda_i [/mm] einfache Eigenwerte, und davon gibt es n Stück.
> V = [mm]\oplus[/mm] Eig [mm](\lambda_{i})[/mm] (Über [mm]\oplus[/mm] steht n , unter
> [mm]\oplus[/mm] steht i = 1)
V ist die direkte Summe der Eigenräume.
Wenn man von jedem Eigenraum eine Basis nimmt, so bilden diese Vektoren zusammengenommen eine Basis von V - eine Basis aus Eigenvektoren.
> Ist dies der Fall, so gibt es eine Basis von V, so dass
>
> Mat [mm](\gamma)[/mm] = [mm]\pmat{ \lambda_{1} & 0 \\ ... & \lambda_{n} }[/mm]
> und
>
> [mm]\gamma[/mm] heißt diagonalisierbar.
Wenn die Matrix n verschiedene Eigenvektoren hat, so findet man eine Basis, so daß die durch A dargestellte Abbildung bzgl. dieser Basis obige Diagonalgestalt hat.
(Solch eine Basis ist dann [mm] (v_1,...v_n), [/mm] wobei [mm] v_i [/mm] ein Eigenvektor zu [mm] \lambda_i [/mm] ist.)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
