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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Di 22.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
| Aufgabe | | Sei $A = [mm] \pmat{ 1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1 } \in M_3(\mathbb{Q})$. [/mm] Zeige, dass A diagonalisierbar ist und bestimme ein $S [mm] \in [/mm] GL(3, [mm] \mathbb{Q})$, [/mm] so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] eine Diagonalmatrix ist. Wie lautet das Minimalpolynom? |
So! Das ist die Aufgabe, die ich gerade versuche zu lösen.
Ich würde jetzt nun ersteinmal anfangen, das Charakteristische Polynom auszurechnen, da ich das für das Minimalpolynom benötige, und um die Diagonalisierbarkeit zu bestimmen denke ich auch.
D.h. also, dass ich [mm] \det(A [/mm] - [mm] \lambda [/mm] E) zu berechnen habe:
[mm] \det(A-\lambdaE) [/mm] = [mm] \det(\pmat{ -1-\lambda & 3 & -1 \\ -3 & 5-\lambda & -1 \\ -3 & 3 & 1-\lambda })
[/mm]
= [mm] (-1-\lambda )(5-\lambda)(1-\lambda) [/mm] + [mm] (3\cdot(-1)\cdot(-3)) [/mm] + [mm] (-1)(-3)\cdot [/mm] 3 - [mm] ((-3)(5-\lambda)(-1)) [/mm] - [mm] (3\cdot(-1)(-1-\lambda)) [/mm] - [mm] (1-\lambda)(-3)\cdot [/mm] 3
= [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 4\lambda [/mm] - 5 + 9 + 9 - 15 + [mm] 3\lambda [/mm] - 3 - [mm] 3\lambda [/mm] + 9 - [mm] 9\lambda
[/mm]
= [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 13\lambda [/mm] + 4
Ich hoffe das stimmt so schonmal. (Kann ich das wohl irgendwie kontrollieren?)
Mit der pq-Formel kann ich nun die Nullstellen ermitteln, welche dann die Eigenwerte darstellen.
Allerdings habe ich hier schon sehr komische Werte, was mich vermuten lässt, dass ich wohl nen Klops drin habe:
[mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 13\lambda [/mm] + 4 = 0
[mm] \lambda_{1, 2} [/mm] = [mm] \bruch{13}{2} \pm \wurzel[]{(\bruch{13}{2})^2 - 4 } [/mm] = [mm] \bruch{13}{2} \pm \wurzel[]{\bruch{153}{4}}
[/mm]
Ich denke, das muss ich nochmal nachrechnen.
Aber wie müsste ich denn jetzt weiterrechnen, um an das Minimalpolynom zu gelangen und die Diagonalisierbarkeit zu bestimmt? Dort muss ja irgendwie das algebraische Vielfacher = dem geometrischen Vielfachen sein. Könnte mir das jemand erklären? Und wie kann ich denn dieses S bestimmen?
Wäre toll, wenn mir jemand ein wenig unter die Arme greifen könnte.
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Hallo!
Leider habe ich auf deine zweite Frage keine Antwort wie du da weiterrechnen kannst aber ich denke ich habe am anfang schon den fehler entdeckt:
> D.h. also, dass ich [mm]\det(A[/mm] - [mm]\lambda[/mm] E) zu berechnen habe:
>
> [mm]\det(A-\lambdaE)[/mm] = [mm]\det(\pmat{ -1-\lambda & 3 & -1 \\ -3 & 5-\lambda & -1 \\ -3 & 3 & 1-\lambda })[/mm]
>
> = [mm](-1-\lambda )(5-\lambda)(1-\lambda)[/mm] +
> [mm](3\cdot(-1)\cdot(-3))[/mm] + [mm](-1)(-3)\cdot[/mm] 3 -
> [mm]((-3)(5-\lambda)(-1))[/mm] - [mm](3\cdot(-1)(-1-\lambda))[/mm] -
> [mm](1-\lambda)(-3)\cdot[/mm] 3
> = [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]4\lambda[/mm] - 5 + 9 + 9 - 15 + [mm]3\lambda[/mm] - 3 -
> [mm]3\lambda[/mm] + 9 - [mm]9\lambda[/mm]
> = [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]13\lambda[/mm] + 4
>
Hier hab ich das mal überflogen. Wo bleibt dein [mm] \lambda^{3} [/mm] durch was ist das weggefallen? Das [mm] \lambda^{3} [/mm] kann doch gar nicht wegfallen da es nur in der spur der matrix vorkommt und es dort nicht wegfällt. vielleicht hast du deswegen so unschöne ergebnisse. Viel glück noch bei der aufgabe!
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Mi 23.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Schonmal Danke für Dein Einwand!!
Ich habe beim 1. Summand den letzten Faktor vergessen, weswegen das ganze Ergebnis falsch wurde. Was mich jetzt allerdings stutzig macht: Ich bekomme nach 5 maligem hin- und herrechnen nun als char. Polynom [mm] -\lambda^3+7\lambda^2-20\lambda+20 [/mm] herraus. Ein Online-Tool, welches das auch automatisch ausrechnen kann, sagt mir allerdings [mm] x^3 [/mm] - [mm] 7x^2 [/mm] + 20x - 20, was ich aber absolut nicht nachvollziehen kann.
Kann mir einer sagen, ob das Tool vll. nen Fehler hat, oder habe ich mich wirklich so oft verrechnet? Oder ist dieser Vorzeichenwechsel etwa irrelevant?
Und kann mir vll. noch jemand was zu meinen anderen Fragen sagen?
Aber trotzdem schonmal danke an Tyskie84
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Hallo,
nein, nein, ihr habt beide recht 
Ich habe auch dein char.Polynom rausbekommen.
Das stimmt ja auch bis auf's Vorzeichen mit dem des Programms überein.
Wahrscheinlich hat das Prog nicht [mm] $det(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3)$ [/mm] gerechnet, sondern [mm] $det(\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3-A)$
[/mm]
Beides geht und spielt ja für die Nullstellen des char. Polynoms keine Rolle
Es ist ja: [mm] $-p(x)=0\gdw [/mm] p(x)=0$
Das weitere Procedere wäre nun, die Nullstellen des char. Polynoms, also die Eigenwerte von A zu bestimmen und dann die Eigenvektoren dazu..
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:30 Mi 23.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Okay! Danke für deine Erklärung!
Ich habe nun also als char. Polynom folgendes: [mm] -\lambda^3+7\lambda^2-20\lambda+20
[/mm]
Jetzt habe ich erstmal versucht 1 einzusetzten, aber da kam nicht 0 raus. Dann habe ich 2 eingesetzt, und siehe da: Ich bekam 0 als Ergebnis! Also ist 2 schonmal Nullstelle/Eigenwert!
Dann habe ich die Polynomdivision auf das char. Polynom losgelassen, also
[mm] -\lambda^3 [/mm] + [mm] 7\lambda^2 -20\lambda [/mm] +20 : [mm] \lambda-2 [/mm] = [mm] -\lambda^2+5\lambda-10
[/mm]
Jetzt setzte ich das erhaltene Polynom = 0 und rechne zuerst [mm] \cdot [/mm] (-1), damit ich die pq-Formel anwenden kann, also
[mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 5\lambda [/mm] + 10 = 0
Nun als pq-Formel, und ich erhalte:
[mm] \lambda_{1, 2} [/mm] = - [mm] \bruch{5}{2} \pm \wurzel[]{\bruch{-15}{4}}
[/mm]
D.h. also, dass es in [mm] \mathbb{Q} [/mm] keine weitere Lösung geben kann!
Das bedeutet also, dass ich als Eigenwert lediglich 2 habe, richtig?
Jetzt hänge ich allerdings wieder. Krieg ich nochmal nen Tipp? :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:21 Mi 23.01.2008 | | Autor: | JtR |
Hi,
Ich arbeite momentan an der selben Aufgabe.
Also ich hab das char. Polynom mit det(Ex - A) berechnet und bekomme das raus:
[mm] x^{3}-5x^{2}+8x-4
[/mm]
Weg:
det(Ex - A) [mm] =\vmat{ x+1 & -3 & 1 \\ 3 & x-5 & 1 \\ 3 & -3 & x-1 }
[/mm]
Entwicklung nach der ersten Spalte (geht sicher leichter):
[mm] \Rightarrow(x+1)\vmat{ x-5 & 1 \\ -3 & x-1 }-3\vmat{ -3 & 1 \\ -3 & x-1 }+3\vmat{ -3 & 1 \\ x-5 & 1 }
[/mm]
Wenn man dann die Regel von Sarrus auf die 2x2 Matrizen anwende bekomme ich nach Ausrechnen das obige Polynom raus:
[mm] x^{3}-5x^{2}+8x-4
[/mm]
Wie du hab ich dann ne Polynomdivision durchgeführt:
[mm] (x^{3}-5x^{2}+8x-4)/(x-2)=x^{2}-3x+2
[/mm]
Wenn ich dann die pq-Formel auf das Ergebnis anwende bekomme ich 2 und 1 raus.
Also ergibt sich als char. Polynom(das oben war ja auch schon eins, aber bei diesem hier kann man die Faktoren eines eventuell kleineren Minimalpolynoms ablesen):
[mm] (x-2)^{2}*(x-1)
[/mm]
Eventuelles Minimalpolynom wäre dann:
(x-2)*(x-1)
Einsetzen der Matrix für x ergibt dann:
[mm] \pmat{ -3 & 3 & -1 \\ -3 & 3 & -1 \\ -3 & 3 & -1 }*\pmat{ -2 & 3 & -1 \\ -3 & 4 & -1 \\ -3 & 3 & 0 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also ist das mein Minimalpolynom:
(x-2)*(x-1)
Nochmal festhalten:
Die Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2
[/mm]
Gab es nicht einen Satz der besagt, dass wenn die Anzahl der Eigenwerte kleiner ist als der Rang der Matrix, diese NICHT diagonalisierbar?
Oder ist [mm] \lambda_{3}=2 [/mm] ein einzeln zu betrachtender Eigenwert?
Erhalte ich S indem ich die Eigenvektoren spaltenweise zu einer Matrix "kombiniere"? Dies wäre ja im Prinzip die Matrix zu Basis der Eigenvektoren. Nur hat diese dann aufgrund der 2 gleichen Eigenwerte 2 gleiche Spalten und hat somit den Rang 2 [mm] \not= [/mm] Rang(A)
Oder habe ich schlicht und einfach einen Fehler bei der Berechnung des char. Polynoms?
Grüße
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Hallo Benni,
nein, dein char. Polynom stimmt.
So wie ich das an deiner Rechnung sehe, ist im Ausgangspost der Eintrag [mm] $a_{11}$ [/mm] in der Matrix A falsch. Da sollte wohl statt der 1 eine [mm] \red{-}1 [/mm] stehen.
Dann bekommt man auch genau die Eigenwerte, die du errechnet hast!
Was die Diagonalisierbarkeit angeht, so gibt es doch den Satz, dass für jeden Eigenwert algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen müssen, also Vielfachheit der Nullstelle im char. Polynom und Dimension des zugehörigen Eigenraumes.
Also ist zu [mm] $\lambda_1=1$ [/mm] der [mm] $Kern(A-1\cdot{}\mathbb{E}_3)$ [/mm] zu berechnen.
Der hat sowieso Dimension 1
Ein Vektor [mm] $v_{\lambda_1}\neq [/mm] 0$ daraus ist dann ein Eigenvektor zu [mm] $\lambda_1=1$
[/mm]
Nun musst du noch den [mm] $Kern(A-2\cdot{}\mathbb{E}_3)$ [/mm] bestimmen.
Der sollte gefälligst dann Dimension 2 haben, damit die Matrix A auch diagonalisierbar ist.
Falls das alles so hinhaut - und das tut es, hab's nachgerechnet ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") - , stecke die Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix $S$, die dir dann A transformiert in die Matrix [mm] $\pmat{1&0&0\\0&2&0\\0&0&2}$ [/mm] mittels der Formel [mm] $S^{-1}AS$
[/mm]
Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mi 23.01.2008 | | Autor: | JtR |
WOW!
Danke erstmal. Es hat tatsächlich geklappt und ich habe die Diagonalmatrix raus. :) (Solche Erfolgserlebnisse tun gut)
Eine Frage hab ich aber noch:
Wenn ich die Matrix [mm] (A-\lambda*E_{i}) [/mm] (Ist es eigentlich egal, ob ich [mm] A-\lambda*E_{i} [/mm] oder [mm] \lambda*E_{i}-A [/mm] schreibe?)aufstelle, auflöse und festelle, dass es 2 0-Zeilen gibt, kann ich dann direkt schließen, dass der Kern 2-Dimensional ist?
Bei [mm] \lambda_{2} [/mm] ist das ja der Fall. Und da ich bei [mm] \lambda_{1} [/mm] nur einen 1-Dimensionalen Kern habe könnte man dan direkt schließen, dass die Matrix diagonalisierbar ist.
Wenn das geht, und nur nach der Invertierbarkeit und nicht nach S gefragt ist, brauch ich nur bis zu diesem Punkt zu rechnen und bin fertig. Wäre für die Klausur eventuell interessant, da das nur verschwendete Zeit wäre.
Grüße
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Hallo Benni,
> WOW!
> Danke erstmal. Es hat tatsächlich geklappt und ich habe
> die Diagonalmatrix raus. :) (Solche Erfolgserlebnisse tun
> gut)
schön, dass es geklappt hat ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Eine Frage hab ich aber noch:
> Wenn ich die Matrix [mm](A-\lambda*E_{i})[/mm] (Ist es eigentlich
> egal, ob ich [mm]A-\lambda*E_{i}[/mm] oder [mm]\lambda*E_{i}-A[/mm]
> schreibe?)
ja, denn der [mm] $Kern(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_n)$ [/mm] ist ja die Lösungsmenge der Gleichung [mm] $(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_n)\cdot{}x=0$
[/mm]
[mm] $\gdw -(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_n)\cdot{}x=0$
[/mm]
[mm] $\gdw (\lambda\cdot{}\mathbb{E}_n-A)\cdot{}x=0$
[/mm]
Und das ist der [mm] $Kern(\lambda\cdot{}\mathbb{E}_n-A)$
[/mm]
aufstelle, auflöse und festelle, dass es 2
> 0-Zeilen gibt, kann ich dann direkt schließen, dass der
> Kern 2-Dimensional ist? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei [mm]\lambda_{2}[/mm] ist das ja der Fall. Und da ich bei
> [mm]\lambda_{1}[/mm] nur einen 1-Dimensionalen Kern habe könnte man
> dan direkt schließen, dass die Matrix diagonalisierbar
> ist.
>
> Wenn das geht, und nur nach der Invertierbarkeit ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
du meinst Diagonalisierbarkeit
> und nicht
> nach S gefragt ist, brauch ich nur bis zu diesem Punkt zu
> rechnen und bin fertig. Wäre für die Klausur eventuell
> interessant, da das nur verschwendete Zeit wäre.
Ja, s. den Satz oben. Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn für jeden ihrer Eigenwerte die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist
> Grüße
Zurück
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mi 23.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Hey! So weit habe ich alles verstanden! :) Jetzt habe ich noch eine Frage:
> Wenn ich dann die pq-Formel auf das Ergebnis anwende
> bekomme ich 2 und 1 raus.
> Also ergibt sich als char. Polynom(das oben war ja auch
> schon eins, aber bei diesem hier kann man die Faktoren
> eines eventuell kleineren Minimalpolynoms ablesen):
> [mm](x-2)^{2}*(x-1)[/mm]
Wie genau kommt man denn auf dieses vereinfachte char. Polynom. Glaube ich seh da den Wald vor lauter Bäumen nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mi 23.01.2008 | | Autor: | JtR |
Also ich habe ja die Polynomdivision benutzt:
[mm] (x^{3}-5x^{2}-8x-4)/(x-2)=x^{2}-3x+2
[/mm]
Also können wir für das char. Polynom schonmal das schreiben:
[mm] (x^{2}-3x+2)*(x-2)
[/mm]
Nun müssen wir nurnoch die erste Klammer vereinfachen. Das wird mit der pg-Formel gemacht. und da erhällt man die Nullstellen 2 und 1.
Also gilt:
[mm] x^{2}-3x+2=0\gdw(x-2)(x-1)=0\Rightarrow x^{2}-3x+2=(x-2)(x-1)
[/mm]
Also können wir das [mm] x^{2}-3x+2 [/mm] im char. Polynom durch (x-2)(x-1) ersetzen und erhalten:
[mm] (x-2)(x-1)(x-2)=(x-2)^{2}(x-1)
[/mm]
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Quieeek,
der Eintrag [mm] $a_{11}$ [/mm] der Matrix A scheint -1 lauten zu müssen, dann gibts auch 3 Nullstellen aus [mm] $\IQ$ [/mm] und nicht 2 komplexe und die Matrix wird diagonalisierbar
s. auch die Rechnung von Benni und meinen anderen post...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mi 23.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Oh mann! Wie ärgerlich!
Ja! [mm] a_{1, 1} [/mm] sollte -1 sein.
Wie blöd von mir! Aber naja. Kann passieren. Danke auf jeden Fall für die Hilfe! Wenigstens habe ich so schonmal den Weg verstanden, und jetzt sind die Ergebnisse auch noch doppelt so schön! :)
Danke euch!
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