Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei A in [mm] M_{nn} [/mm] (R) eine Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten. Sei B in [mm] M_{nn} [/mm] (R) eine Matrix mit AB = BA. Beweisen Sie, dass B diagonalisierbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo ich haenge in diesem Beweis fest, vielleicht kann mir jemand einen Tip geben.
Aus A hat n verschiedene Eiegnwerte, kann ich doch schliessen, dass das Minimalpolynom von A in Linearfaktoren zerfaellt, und damit das A diagonalisierbar ist (da n Eigenwerte hat, duerfte die algebraische und geometrische Vielfachheit gleich sein).
Doch wie bekommen ich den Schritt zu B ist diagonalisierbar hin? Es geht sicher ueber AB = BA. Ich weiss das fuer zwei Matrizen A, B gilt das AB und BA dieselben Eigenwerte haben, hat denn dann B auch die gleichen Eigenwerte wie A (da det(AB) = det(A)*det(B)).
Vielleicht habt ihr einen Tip fuer mich.
Gruesse Steffen
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Hallo,
ich denke das einfachste ist, sich zu überlegen, wenn A diagonalisierbar ist, dann stell das ganze doch erstmal als eine Diagonalmatrix dar. Mit dem entsprechenden dazugehörigen Basisumformung. Ich denke, dann kannst Du selber auf das Ergebnis kommen. Ich habe mir das nur grob überlegt, aber das müsste ungefähr so funktionieren.
--
Gruß
Matthias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 20.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei A in [mm]M_{nn}[/mm] (R) eine Matrix mit n verschiedenen
> Eigenwerten. Sei B in [mm]M_{nn}[/mm] (R) eine Matrix mit AB = BA.
> Beweisen Sie, dass B diagonalisierbar ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo ich haenge in diesem Beweis fest, vielleicht kann mir
> jemand einen Tip geben.
>
> Aus A hat n verschiedene Eiegnwerte, kann ich doch
> schliessen, dass das Minimalpolynom von A in Linearfaktoren
> zerfaellt, und damit das A diagonalisierbar ist (da n
> Eigenwerte hat, duerfte die algebraische und geometrische
> Vielfachheit gleich sein).
Genau.
> Doch wie bekommen ich den Schritt zu B ist diagonalisierbar
> hin? Es geht sicher ueber AB = BA. Ich weiss das fuer zwei
> Matrizen A, B gilt das AB und BA dieselben Eigenwerte
> haben, hat denn dann B auch die gleichen Eigenwerte wie A
> (da det(AB) = det(A)*det(B)).
Nein, $A$ und $B$ haben i.A. nicht die gleichen Eigenwerte! Schau dir z.B. $A = E$ und $B = 2 E$ an ($E$ sei die Einheitsmatrix), dann hat $A$ nur den Eigenwert $1$ und $B$ nur den Eigenwert $2$, aber es gilt $A B = B A$.
> Vielleicht habt ihr einen Tip fuer mich.
Sei $v [mm] \in \mathrm{Eig}(A, \lambda)$. [/mm] Dann gilt $A (B v) = [mm] \lambda [/mm] (B v)$, womit $B v [mm] \in \mathrm{Eig}(A, \lambda)$ [/mm] liegt. So. Und nun weisst du, dass [mm] $R^n [/mm] = [mm] \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{Eig}(A, \lambda_i)$ [/mm] ist, wenn [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ [/mm] die Eigenwerte von $A$ sind. Was bedeutet das fuer $B$? (Beachte, dass [mm] $\dim \mathrm{Eig}(A, \lambda_i) [/mm] = 1$ ist fuer alle $i$.)
HTH & LG Felix
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