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Diagonalisierbarkeit ? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Diagonalisierbarkeit ?: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Do 16.06.2016
Autor: Schobbi

Aufgabe
Ist die folgende Matrix diagonalisierbar? Geben Sie jeweils die Eigenwerte mit algebraischen und geometrischen Vielfachheiten an.

[mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 5 } [/mm]

Moin zusammen, ich hänge ein wenig bei der Bestimmung des Eigenraums vielleicht könnt Ihr mir da weiterhelfen, bzw. den Rest mal überfliegen, ob ich das so machen kann. Vielen Dank schon mal im Voraus!

Für das charakteristische Polynom gilt:
[mm] P_A(t)=det\pmat{ 0-t & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3-t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3-t & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 5-t }=-t*det\pmat{ -3-t & 0 & 0 \\ 0 & 3-t & 1 \\ 0 & -1 & 5-t }=-t*(-3-t)*det\pmat{ 3-t & 1 \\ -1 & 5-t } [/mm]
=-t*(-3-t)*((3-t)*(5-t)+1)
[mm] =-t*(-3-t)*(15-3t-5t+t^2+1) [/mm]
[mm] =-t*(-3-t)*(t^2-8t+16) [/mm]
[mm] =-t*(-3-t)*(t-4)^2 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Die Eigenwerte sind [mm] \lambda_1=0, \lambda_2=-3, \lambda_3=4 [/mm]
(wobei  [mm] \lambda_3 [/mm] die algebraische Vielfachheit 2 hat, und  [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] die algebraische Vielfachheit 1)

[mm] A-\lambda_1E=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 5 } [/mm]
[mm] E_{\lambda_1}=E_0=Lin\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\0}\} [/mm]
also geometrische Vielfachheit 1

[mm] A-\lambda_2E=\pmat{ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 8 } [/mm]
[mm] E_{\lambda_2}=E_{-3}=Lin\{\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\0}\} [/mm]
also geometrische Vielfachheit 1

[mm] A-\lambda_3E=\pmat{ -4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 } [/mm]

Nun zu meiner Frage: Was ist [mm] E_{\lambda_2}=E_{-3}?? [/mm]
Ich weiß dass gelten muss: [mm] (A-\lambda [/mm] E)x=0

Also: Habe ich folgendes LGS
I) [mm] -4x_1=0 [/mm]
II) [mm] -7x_2=0 [/mm]
[mm] III)-x_3+x_4=0 [/mm]
IV) [mm] -x_3+x_4=0 [/mm]

da III) und IV) lin abhängig sind ist z.B. [mm] x_4 [/mm] frei wählbar, also [mm] x_4=1. [/mm] Kann ich dann daraus folgern, dass [mm] E_{\lambda_3}=E_{4}=Lin\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\1}\} [/mm] ist?
Also geometrische Vielfachheit 1 und da in diesem Fall geometrische Vielfachheit ungleich algebraischer Vielfachheit ist, ist A nicht diagonalisierbar.

Kann ich das so machen und auch so begründen?

LG Schobbi

        
Bezug
Diagonalisierbarkeit ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:15 Do 16.06.2016
Autor: fred97

Es ist alle O.K. bis auf den Eigenraum [mm] E_4. [/mm]

[mm] x_4 [/mm] ist frei wählbar. Deine Gleichung III) besagt: [mm] x_3=x_4, [/mm] also ist

    $ [mm] E_{4} \ne Lin\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\1}\} [/mm] $

aber

    $ [mm] E_{4} [/mm] = [mm] Lin\{\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\1}\} [/mm] $.

Deine Argumente für "nicht diagonalisierbar" bleiben dennoch richtig.

FRED

Bezug
        
Bezug
Diagonalisierbarkeit ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:42 Do 16.06.2016
Autor: Schobbi

Vielen Dank, dann hab ich das jetzt verstanden :-)

Einen schönen Tag noch!

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