Diagonalisierbare Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich bin gerade dabei Lineare Algebra zu lernen und bin auf folgendes problem gestoßen:
angenommen ich hab eine Matrix a die diagonalisierbar ist also ähnlich zu einer diagonalmatrix D, in gleichungsform
[mm]A = S^{-1} D S[/mm]
und S besteht aus eigenvektoren von A.
ok mein ausgangsproblem ist, löse das LGS
[mm]Ax=b[/mm]
dann habe ich durch ähnlichkeitstrafo erhalten
[mm]( S^{-1} D S ) x = b[/mm]
aber was hilft mir das jetzt? haette ich
[mm]Dx=b^{'}[/mm]
mit [mm]b^{'}= S b S^{-1}[/mm], aber dann habe ich wieder viel mehr multiplikationen als in
[mm]Ax=b[/mm]
hilft mir die diagonalisierbarkeit hier nicht weiter? hilft diese nur z.b. bei matrixpotenzen? [mm]A^100[/mm] z.b.?
ich wär für anregungen sehr offen und erfreut, danke im voraus,
lannigan
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Do 07.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Es ist im Großen und Ganzen genau wie du es schon sagst.
Für die Lösung von Ax=b muss man ja im Endeffekt auch diagonalisieren. (Gaußv.)
Jedoch hat man, um [mm] (S^{-1}DS)x=b [/mm] lösen zu können, den Mehraufwand, dass man auch S und [mm] S^{-1} [/mm] berechnen muss.
Es bringt also nur Vorteile, falls man öfter mit der Matrix arbeitet.
Wenn z.B. immerwieder der gleiche Arbeitsschritt anfällt, kann man den Raum vorher durch S in die Eigenvektorbasis transformieren, um dann nur noch [mm] Dx_s=b_s [/mm] mit [mm] x=S^{-1}x_s [/mm] lösen zu müssen.
Andererseit kann die Matrix ja auch zeitabhängig sein.
Also Matrixpotenzen wie [mm] A^{t}x=b. [/mm] Dann ist [mm] S^{-1}D^tS=b [/mm] leichter zu berechnen.
Ciao.
|
|
|
| |
|
> Es ist im Großen und Ganzen genau wie du es schon sagst.
> Für die Lösung von Ax=b muss man ja im Endeffekt auch
> diagonalisieren. (Gaußv.)
Hallo,
beim Gaußverfahren bringt man zwar die Matrix durch elementare Zeilenumformungen bzw. Multiplikation mit Elementarmatrizen auf Diagonalgestalt, mit Diagonalisierung hat das aber nichts zu tun.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Do 07.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Ok, das war wohl schlecht formuliert.
Mir ging es hauptsächlich darum den Aufwand der Berechnung zu vergleichen.
Es ist möglich mit einen Gauß-ähnlichen-Verfahren die Matrix A zur Matrix D zu diagonalisieren, indem man die Zeilen/Spalten von S bzw. [mm] S^{-1} [/mm] als Zeilen-/Spaltenoperationen auffasst. [mm] (SAS^{-1}=D)
[/mm]
Da es dafür aber nur genau diese eine Möglichkeit gibt ist der Aufwand natürlich größer.
Die Verfahren sind ansonsten natürlich nicht wirklich vergleichbar.
Ciao.
|
|
|
| |
|
> angenommen ich hab eine Matrix a die diagonalisierbar ist
> also ähnlich zu einer diagonalmatrix D, in gleichungsform
>
> [mm]A = S^{-1} D S[/mm]
>
> und S besteht aus eigenvektoren von A.
>
> ok mein ausgangsproblem ist, löse das LGS
>
> [mm]Ax=b[/mm]
Hallo,
für die Lösung dieses Problems dürfte Dir die Diagonalisierung der Matrix nichts bringen.
>
> dann habe ich durch ähnlichkeitstrafo erhalten
>
> [mm]( S^{-1} D S ) x = b[/mm]
> [mm]Dx=b^{'}[/mm]
>
> mit [mm]b^{'}= S b S^{-1}[/mm],
Du hättest das gar nicht, oder?
Denn: Dx=S b [mm] S^{-1} [/mm] <==> [mm] S^{-1}DxS=b [/mm]
> hilft mir die diagonalisierbarkeit hier nicht weiter? hilft
> diese nur z.b. bei matrixpotenzen? [mm]A^{100}[/mm] z.b.?
Hierfür ist es auf jeden Fall nützlich.
Man benötigt Diagonalisierung bzw. Jordannormalform auch beim Lösen v. Differentialgleichungen.
Die Eigenwerte und Vektoren geben ja prinzipell sehr interessante Informationen über die vorliegende Abbildung, und wenn man die Basis entsprechend wählt, kann man diese Informationen direkt aus der Matrix ablesen, und für weitere Untersuchungen mit der passenden Basis durchführen.
(Wenn ich es z.B. mit Spiegelungen zu tun habe, würde ich natürlich als Basis ein angepaßtes Koordinatensystem wählen, weil ich dann viel einfacher rechnen kann.)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
