Diagonalisierbar und Eigenwert < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei |K| = 2 und dim V = 3 mit K ein Körper und V != ein endlichdimensionaler Vektorraum über K. Man gebe ein Beispiel für einen [mm] \alpha \in [/mm] End(V) an, dass nicht diagonalisierbar ist und
(a) keinen Eigenwert besitzt,
(b) genau einen Eigenwert besitzt,
(c) genau zwei Eigenwerte besitzt. |
Sehr geehrter Mathe-Raum.
Ich bin neu hier und muss mich gleich mit einem Problem an euch wenden.
Nach unserer Definition heißt eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar, wenn eine Basis B von V existiert, so dass [mm] M(\phi,B,B) [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Mit anderenWorten: [mm] \phi [/mm] ist genau dann diagonalisierbar, wenn eine Basis von V existiert, deren Elemente Eigenvektoren von [mm] \phi [/mm] sind.
Da mein Endomorphisnus niun aber nicht diagonalisierbar sein soll, existiert keine Basis von V, deren Elemente Eigenvektoren sind.
(a) Wenn nun [mm] \alpha [/mm] nicht diagonalisierbar und keinen Eigenwert besitzten soll, dann bedeutet das, dass es keine Nullstellen im charakteristischen Polynom von [mm] \alpha [/mm] geben muss.
(b) Wenn nun [mm] \alpha [/mm] nicht diagonalisierbar und genau einen Eigenwert besitzten soll, dann bedeutet das, dass es genau eine Nullstelle im charakterisitschen Polynom von [mm] \alpha [/mm] geben muss.
(c) Wenn nun [mm] \alpha [/mm] nicht diagonalisierbar und genau zwei Eigenwerte besitzten soll, dann bedeutet das, dass es genau zwei Nullstellen im charakteristischen Polynom von [mm] \alpha [/mm] geben muss.
Nun ist meine Frage, wie ich so ein charakteristischen Polynom angeben kann, das genau das gewünschte erfüllt.
Ich würde mich über Unterstützung riesig freuen.
PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:54 Mi 09.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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