Diagonaleinträge < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mi 02.11.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Eine quadratische Matrix [mm] A=(a_{ij}) [/mm] heisst Diagonalmatrix, wenn alle Einträge ausserhalb der Diagonale gleich 0 sind, d.h [mm] a_{ij}=o [/mm] falls [mm] i\not=j. [/mm]
Ist D eine Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenen Diagonaleinträgen und vertauscht D mit der Matrix A, so ist A ebenfalls eine Diagonalmatrix. |
Also ich habe mir folgendes dazu überlegt:
Für mich ist eine quadratische Matrix A:
[mm] \pmat{ a_{11} \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots \\ a_{n1} \ldots & a_{nn}}
[/mm]
und D:
[mm] \pmat{ d_{1} & \\ & \ddots & \\ & & d_{n}}
[/mm]
Muss ich jetzt das Produkt dieser zwei Matrizen bilden?
Stimmt meine kleine Überlegung überhaupt?
Danke schonmal für Anregungen:)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
"und vertauscht D mit der Matrix A"
Ich verstehe diesen Satz nicht. Vielleicht ist das so zu interpretieren: A ist eine Matrix, die an D ranmultipliziert wird. Das Produkt $AD$ ergibt eine Matrix, die lediglich die Diagonaleinträge von D in einer anderen Reihenfolge beinhaltet.
Kannst du nochmal die Aufgabenstellung überprüfen?
Grüße,
Harris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 02.11.2011 | | Autor: | unibasel |
Leider ist dies die exakt abgetippte Aufgabenstellung.
> Hi!
>
>
> "und vertauscht D mit der Matrix A"
> Ich verstehe diesen Satz nicht. Vielleicht ist das so zu
> interpretieren: A ist eine Matrix, die an D
> ranmultipliziert wird. Das Produkt [mm]AD[/mm] ergibt eine Matrix,
> die lediglich die Diagonaleinträge von D in einer anderen
> Reihenfolge beinhaltet.
>
> Kannst du nochmal die Aufgabenstellung überprüfen?
>
> Grüße,
> Harris
...ein Beispiel:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Das nenne ich bzw. mein Dozent vertauschbar.
Wenn man zwei Matrizen vertauschen kann.
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Hallo,
das Stichwort lautet wohl Permutationsmatrix
zu zeigen ist wohl:
$DA = AD = D $ dann ist A eine Diagonalmatrix
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mi 02.11.2011 | | Autor: | unibasel |
> Hallo,
>
> das Stichwort lautet wohl Permutationsmatrix
>
>
>
>
> Gruss
> kushkush
Zu diesem Zeitpunkt hatten wir das Thema Permutationsmatrizen nicht. Somit muss es einen anderen Weg geben.
Keiner eine Idee?
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moin,
Der Fachbegriff; oder zumindest der, den ich gelernt habe; ist:
Zwei quadratische Matrizen A,B kommutieren, genau dann wenn AD = DA.
Ich nehme mal an das ist mit dem "vertauschen" gemeint.
Zu kommutierenden Matrizen findest du auch ein wenig was bei google oder Wiki, falls du Lust hast danach zu suchen.
Aber zu deinem Problem:
Es soll AD = DA gelten.
Zwei Matrizen stimmen überein, wenn jeder Eintrag gleich ist.
Betrachte dafür zum Beispiel mal [mm] $AD_{1,1} [/mm] = [mm] DA_{1,1}$.
[/mm]
Wie wird der Eintrag links berechnet (welche Zeile mit welcher Spalte multipliziert?), wie rechts?
Mach dir das am besten mal an ein paar Beispielen klar bevor du mit dem richtigen Beweis loslegst.
Für diesen Beweis würde ich dir einen Widerspruchsbeweis empfehlen:
Angenommen A ist keine Diagonalmatrix. Dann gibt es $i [mm] \not= [/mm] j$ mit [mm] $A_{ij} \not= [/mm] 0$, also A hat einen Eintrag ungleich 0 außerhalb der Hauptdiagonalen.
Zeige dann, dass AD unmöglich gleich DA sein kann, wenn D wie gegeben eine Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenen Diagonaleinträgen ist.
Wenn du an einer Stelle nicht weiter kommst dann frag ruhig. ;)
lg
Schadow
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