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| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1} [/mm] B= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } C=\pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1} [/mm] alle [mm] \in \IR
[/mm]
i) Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S [mm] \in \IR^{3,3}, [/mm] die nicht orthogonal ist, so dass [mm] S^{-1}AS ,S^{-1}BS ,S^{-1}CS [/mm] alle obere Dreiecksmatrizen sind.
ii) Bestimmen Sie eine orhtogonale Matrix Q [mm] \in \IR^{3,3}, [/mm] so dass [mm] Q^{T}AQ, Q^{T}BQ, Q^{T}CQ [/mm] alle Diagonalmatrizen sind. |
Hallo alle zusammen :)
bei dieser Aufgabe habe ich momentan keine Ahnung wie ich das rangehen soll.
Ich habe schon die Eigenwerte + Eigenräume berechnet aber keine nennenswerten Bemerkungen gemacht. Bei Bedarf kann ich sie hier noch einmal aufschreiben.
Ich hatte auch überlegt ob es schon reicht A*B*C zu berechnen und auf Eigenräume zu überprüfen, wüsste aber nicht warum ich das mache :)
Hätte vielleicht irgendjemand eine Ahnung oder einen Tipp für mich :D
mfg der Iwan
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Ok ich habe jetzt einiges gerechnet und habe bemerkt das alle Matrizen kommutativ sind, also
AB=BA , AC=CA, BC=CB , Zu dem sind die Eigenräume von A und C identisch.
Ich weiß aber nicht, ob mir das etwas bringt.
Hätte evtl. jetzt jemand eine Idee dazu ?
Ich danke im Voraus
mfg der Iwan
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Hallo Iwan-der-Existenzquantor,
> Ok ich habe jetzt einiges gerechnet und habe bemerkt das
> alle Matrizen kommutativ sind, also
>
> AB=BA , AC=CA, BC=CB , Zu dem sind die Eigenräume von A
> und C identisch.
>
> Ich weiß aber nicht, ob mir das etwas bringt.
>
> Hätte evtl. jetzt jemand eine Idee dazu ?
Berechne dann die Matrix aus Eigenvektoren für die Matrix A oder C.
Und wende diese Matrix auf die Matrix B an.
>
> Ich danke im Voraus
>
> mfg der Iwan
Gruss
MathePower
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Mmh ok danke erst einmal. Aber könntest du mir noch kurz erklären warum das gerade die Matrix S ist die diese 3 Matrizen zu einer oberen Dreiecksmatrix macht?
Außerdem noch : zu ii) Ich hätte ja erst gedacht man müsste diese Matrix dann orthogonalisieren aber eine wäre ja keine Diagonalmatrix ...
Wie muss man dort heran gehn?
mfg der Iwan
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Hallo Iwan-der-Existenzquantor,
> Mmh ok danke erst einmal. Aber könntest du mir noch kurz
> erklären warum das gerade die Matrix S ist die diese 3
> Matrizen zu einer oberen Dreiecksmatrix macht?
Der Eigenraum zu der Matrix B enthält
Eigenvektoren aus dem Eigenraum zu der Matrix A.
>
> Außerdem noch : zu ii) Ich hätte ja erst gedacht man
> müsste diese Matrix dann orthogonalisieren aber eine wäre
> ja keine Diagonalmatrix ...
>
> Wie muss man dort heran gehn?
>
Hier lautet das Stichwort: simultane Diagonalisierung.
> mfg der Iwan
Gruss
MathePower
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Ok :) , Ich danke sehr für die schnelle Auskunft
mfg der Iwan ^^
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Hallo Iwan-der-Existenzquantor,
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1}[/mm] B= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } C=\pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1}[/mm]
> alle [mm]\in \IR[/mm]
>
> i) Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S [mm]\in \IR^{3,3},[/mm]
> die nicht orthogonal ist, so dass [mm]S^{-1}AS ,S^{-1}BS ,S^{-1}CS[/mm]
> alle obere Dreiecksmatrizen sind.
>
> ii) Bestimmen Sie eine orhtogonale Matrix Q [mm]\in \IR^{3,3},[/mm]
> so dass [mm]Q^{T}AQ, Q^{T}BQ, Q^{T}CQ[/mm] alle Diagonalmatrizen
> sind.
> Hallo alle zusammen :)
>
> bei dieser Aufgabe habe ich momentan keine Ahnung wie ich
> das rangehen soll.
> Ich habe schon die Eigenwerte + Eigenräume berechnet aber
> keine nennenswerten Bemerkungen gemacht. Bei Bedarf kann
> ich sie hier noch einmal aufschreiben.
> Ich hatte auch überlegt ob es schon reicht A*B*C zu
> berechnen und auf Eigenräume zu überprüfen, wüsste aber
> nicht warum ich das mache :)
>
> Hätte vielleicht irgendjemand eine Ahnung oder einen Tipp
> für mich :D
Siehe dazu hier.
>
> mfg der Iwan
Gruss
MathePower
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