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| Aufgabe | Es sei A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & b \\
b & 1 & a & 1 \\
0 & 1 & a & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \in [/mm] Mat(4 x 4, [mm] \mathbb{C} [/mm] ), a,b [mm] \in \mathbb{C}
[/mm]
Untersuchen sie A auf Diagonalisierbarkeit |
Hi
kurze Frage(n):
Als charakteristisches Polynom habe ich bekommen:
[mm] $P_A [/mm] = [mm] (1-t)((1-t)^2(a-t)-a(1-t))$
[/mm]
Und somit die Eigenwerte:
[mm] $\lambda_1 [/mm] = 1, [mm] \lambda_2 [/mm] = 0, [mm] \lambda_3 [/mm] = a+1$
Mein Frage ist jetzt was sind die Vielfachheiten der Eigenwerte.
Ist die Vielfachheit von [mm] \lambda_1 [/mm] = 2 oder 3 ? Was sind die von [mm] \lambda_2 [/mm] bzw. [mm] \lambda_3 [/mm] ?
Ausserdem haben wir den Satz (Fundamentalsatz der Algebra) dass jedes Polynom in [mm] \mathbb{C} [/mm] in Linearfaktoren zerfällt. Kann ich das einfach so verwenden oder muss ich das obige charakteristische Polynom noch irgendwie in Linearfaktoren zerlegen damit ich folgendes verwenden kann:
A ist diagonalisierbar [mm] \Leftrightarrow [/mm]
(a) [mm] P_A [/mm] zerfällt in Linearfaktoren
(b) [mm] \forall [/mm] Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] von A: Vielfachheit v0n [mm] \lambda [/mm] = dim(Eig(A, [mm] \lambda))
[/mm]
Jetzt kann ich ja zeigen dass dim(Eig(A, [mm] \lambda_1) [/mm] = 1 und da die Vielfachheit von [mm] \lambda_1 [/mm] > 1 ist [mm] \Rightarrow [/mm] A nicht diagonalisierbar
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mi 21.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A = [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & b \\
b & 1 & a & 1 \\
0 & 1 & a & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \in[/mm]
> Mat(4 x 4, [mm]\mathbb{C}[/mm] ), a,b [mm]\in \mathbb{C}[/mm]
>
> Untersuchen sie A auf Diagonalisierbarkeit
> Hi
> kurze Frage(n):
>
> Als charakteristisches Polynom habe ich bekommen:
> [mm]P_A = (1-t)((1-t)^2(a-t)-a(1-t))[/mm]
>
> Und somit die Eigenwerte:
> [mm]\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0, \lambda_3 = a+1[/mm]
>
> Mein Frage ist jetzt was sind die Vielfachheiten der
> Eigenwerte.
> Ist die Vielfachheit von [mm]\lambda_1[/mm] = 2 oder 3 ? Was sind
> die von [mm]\lambda_2[/mm] bzw. [mm]\lambda_3[/mm] ?
Das hängt noch von a ab.
Ist a=0, so ist 1 ein dreifacher Eigenwert
Ist a=1, so ist 1 ein doppelter Eigenwert.
......
>
> Ausserdem haben wir den Satz (Fundamentalsatz der Algebra)
> dass jedes Polynom in [mm]\mathbb{C}[/mm] in Linearfaktoren
> zerfällt. Kann ich das einfach so verwenden oder muss ich
> das obige charakteristische Polynom noch irgendwie in
> Linearfaktoren zerlegen damit ich folgendes verwenden
> kann:
>
> A ist diagonalisierbar [mm]\Leftrightarrow[/mm]
> (a) [mm]P_A[/mm] zerfällt in Linearfaktoren
> (b) [mm]\forall[/mm] Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] von A: Vielfachheit v0n
> [mm]\lambda[/mm] = dim(Eig(A, [mm]\lambda))[/mm]
>
> Jetzt kann ich ja zeigen dass dim(Eig(A, [mm]\lambda_1)[/mm] = 1 und
> da die Vielfachheit von [mm]\lambda_1[/mm] > 1 ist [mm]\Rightarrow[/mm] A
> nicht diagonalisierbar
Ja, so ist es.
FRED
>
> lg
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