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Dgls: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 So 29.06.2008
Autor: NemoAS

Aufgabe
Lösen Sie durch geratenen Ansatz folgende Dgl:

y''=-4y   mit y'(0)=y(0)=3

Hallo,

y''=-4y

y'(0)=y(0)=3

Ansatz:
y=a*sin(wx)+b*cos(wx)
y'=a*w*cos(wx)+b*w*(-sin(wx))
[mm] y''=-a*w^2*sin(wx)-bw^2*cos(wx) [/mm]

y(0)=a*sin(w*0)+b*cos(w*0)=3
b=3

einsetzen: y''=-y
[mm] -a*w^2*sin(wx)-bw^2*cos(wx) [/mm]
=4(a*sin(wx)+b*cos(wx))

Ist der Anfang richtig und wie berechne ich a und w ???

        
Bezug
Dgls: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 So 29.06.2008
Autor: leduart

Hallo
> Lösen Sie durch geratenen Ansatz folgende Dgl:
>  
> y''=-4y   mit y'(0)=y(0)=3
>  Hallo,
>  
> y''=-4y
>  
> y'(0)=y(0)=3
>  
> Ansatz:
>  y=a*sin(wx)+b*cos(wx)
>  y'=a*w*cos(wx)+b*w*(-sin(wx))
>  [mm]y''=-a*w^2*sin(wx)-bw^2*cos(wx)[/mm]

Das musst du jetzt zuerst in die Dgl y''+4y=0 einsetzen. Da es für alle t 0 sein muss, müssen die Terme bei sin und bei cos einzeln 0 sein. daraus folgt w
  

> y(0)=a*sin(w*0)+b*cos(w*0)=3
>  b=3
>  
> einsetzen: y''=-y
>  [mm]-a*w^2*sin(wx)-bw^2*cos(wx)[/mm]
>  =4(a*sin(wx)+b*cos(wx))

rechts ein - vergessen!

>  
> Ist der Anfang richtig und wie berechne ich a und w ???

siehe oben.
also [mm] -aw^2+4a=0 [/mm]  daraus [mm] w^2. [/mm]
ob du das positive oder neg, Vorzeichen für w nimmst ist egal, das a macht das dann richtig, denn coswt=coss(-wt) sinwt=-sin(-wt)
deshalb wählt man meist das pos. Vorzeichen.

a kommt dann aus y'(0)=3 raus.
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Dgls: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 So 29.06.2008
Autor: NemoAS

Hallo leduart,

ist das Ergebnis dann so richtig?

y=3/4*sin(2x)+3cos(2x)

Bezug
                        
Bezug
Dgls: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 So 29.06.2008
Autor: MathePower

Hallo NemoAS,

> Hallo leduart,
>  
> ist das Ergebnis dann so richtig?
>  
> y=3/4*sin(2x)+3cos(2x)


Das stimmt leider nicht ganz, denn hier ist

[mm]y'\left(0\right)=\bruch{3}{2} \not= 3[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Dgls: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 So 29.06.2008
Autor: NemoAS

vielen Dank,

hab meinen Fehler gefunden.

Bezug
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