Dgl mit Substitution y'=p < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeine Lösungen der folgenden DGLen mit Hilfe der Substitution p=y'
A) [mm] 2xy''(x)y'(x)-(y'(x))^2=-1
[/mm]
B) [mm] y''(x)=\bruch{y'(x)}{(cos(y(x)))^2} y(0)=\pi/4 [/mm] y'(0)=1
C) y''(x) + [mm] (y'(x))^2-(1+y(x))^2y'(x)=0 [/mm] y(0)=0 |
Hallo!
So ,meine Ideen bei den Aufgaben, doch habe noch viele Fragen
Zu A)
Substitution p=y' und p'=y'' ergbit
[mm] 2xp'p-p^2=-1
[/mm]
Umformen ergibt
[mm] \bruch{p}{p^2-1}p'=\bruch{1}{2x} [x\not= [/mm] 0 und [mm] p^2 \not= [/mm] 1]
Nach Integration(links der Term mit Substitution) bekomme ich
[mm] \bruch{ln(p^2-1)}{2}=(1/2)ln(x)+c
[/mm]
[mm] =>ln(p^2-1)=ln(x)+ [/mm] c1 [mit c1:=2c]
[mm] =>p=\wurzel{xd+1} [/mm] [d [mm] \in \IR [/mm] ]
Nun muss man rücksubstituieren
=> [mm] y=\wurzel{xd+1}x [/mm] mit [mm] x>\bruch{-1}{d}(nicht [/mm] größer gleich, weil x [mm] \not= [/mm] 0)
Ich frage mich, wie nun die Definitionsgebiete aussehen? Wie wird das [mm] p\not= [/mm] 0 in der Endlösung verarbeitet? Gar nicht, weil es nur zur Lösung der Substitution gehörte?
Und ist die Dgl in 0 nicht definiert? also muss man dann 2 Definitionsgebiete angeben?
Und habe ich noch vergessen, Lösungen anzugeben? Ich habe noch kein geschultes Auge, ob irgendeine Lösung, so wie y=0 oder y=1, fehlt?
Zu B) und C)
Hier ist mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich y(x) substituiere.
Also y'(x)=p(x) und y''(x)=p'(x). Was ist nun y(x)? Eine Stammfunktion von p(x), aber ich muss die doch irgendwie angeben können.
Ich hoffe, einer kann mir bei meinen Problemen helfen
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Bestimmen sie die allgemeine Lösungen der folgenden DGLen
> mit Hilfe der Substitution p=y'
> A) [mm]2xy''(x)y'(x)-(y'(x))^2=-1[/mm]
>
> B) [mm]y''(x)=\bruch{y'(x)}{(cos(y(x)))^2} y(0)=\pi/4[/mm] y'(0)=1
>
> C) y''(x) + [mm](y'(x))^2-(1+y(x))^2y'(x)=0[/mm] y(0)=0
> Hallo!
> So ,meine Ideen bei den Aufgaben, doch habe noch viele
> Fragen
>
> Zu A)
> Substitution p=y' und p'=y'' ergbit
>
> [mm]2xp'p-p^2=-1[/mm]
> Umformen ergibt
> [mm]\bruch{p}{p^2-1}p'=\bruch{1}{2x} [x\not=[/mm] 0 und [mm]p^2 \not=[/mm]
> 1]
> Nach Integration(links der Term mit Substitution) bekomme
> ich
> [mm]\bruch{ln(p^2-1)}{2}=(1/2)ln(x)+c[/mm]
> [mm]=>ln(p^2-1)=ln(x)+[/mm] c1 [mit c1:=2c]
> [mm]=>p=\wurzel{xd+1}[/mm] [d [mm]\in \IR[/mm] ]
Es gibt noch eine Lösung: [mm]p=\blue{-}\wurzel{xd+1}[/mm]
>
> Nun muss man rücksubstituieren
>
> => [mm]y=\wurzel{xd+1}x[/mm] mit [mm]x>\bruch{-1}{d}(nicht[/mm] größer
> gleich, weil x [mm]\not=[/mm] 0)
Es ist doch [mm]p=y'=\wurzel{xd+1}[/mm]
Hier muss Du, um die Lösung y(x) zu erhalten, integrieren:
[mm]y\left(x\right)=\integral_{}^{}{ \wurzel{xd+1} \ dx} +C[/mm]
> Ich frage mich, wie nun die Definitionsgebiete aussehen?
> Wie wird das [mm]p\not=[/mm] 0 in der Endlösung verarbeitet? Gar
> nicht, weil es nur zur Lösung der Substitution gehörte?
>
> Und ist die Dgl in 0 nicht definiert? also muss man dann 2
> Definitionsgebiete angeben?
>
> Und habe ich noch vergessen, Lösungen anzugeben? Ich habe
> noch kein geschultes Auge, ob irgendeine Lösung, so wie
> y=0 oder y=1, fehlt?
> Zu B) und C)
> Hier ist mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich y(x)
> substituiere.
> Also y'(x)=p(x) und y''(x)=p'(x). Was ist nun y(x)? Eine
> Stammfunktion von p(x), aber ich muss die doch irgendwie
> angeben können.
Bei B) und C) handelt es sich um DGLn ohne x.
Substituiere daher [mm]y'\left(x\right)=p\left( \ y\left(x\right) \ \right)[/mm]
>
> Ich hoffe, einer kann mir bei meinen Problemen helfen
>
> Vielen Dank
>
> TheBozz-mismo
Gruss
MathePower
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Hallo!
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
Ich hoffe, ich hab das richtig verstanden.
Zu A)
Also beim Integrieren kommt man dann auf
$ [mm] y\left(x\right)=\integral_{}^{}{ \wurzel{xd+1} \ dx} [/mm] $
[mm] =\wurzel{xd+1}x+c [/mm] (mit c,d [mm] \in \IR). [/mm]
Eine weitere Lösung wäre also auch
[mm] y(x)=-\wurzel{xd+1}x+c [/mm]
Nun nochmal zu den Definitionsgebieten.
Ich würde sagen, dass das hier so definiert ist
[mm] \ID=]\bruch{1}{d},\infty]
[/mm]
Also gibt es 2 Lösungen mit dem selben Definitionsgebiet?
Zu B) und C)
Also ich substituiere jetzt y'(x)=p(y(x)), also gilt auch y''(x)=p'(y(x))*p(y(x))
In die DGL in B) eingesetzt ergibt das:
[mm] p'p=\bruch{p}{cos^2(y)}
[/mm]
=> [mm] p'=\bruch{1}{cos^2(y)}
[/mm]
Nach dem Integrieren erhalte ich
p=tan(y)+c (c [mm] \in\IR)
[/mm]
Nun Rücksubstitution:
y'(x)=tan(y)+c
y(x)=-ln(cos(x))+cx+d (mit [mm] c,d\in\IR)
[/mm]
Es muss gelten cos(x)>0 sein, also muss cos(x) immer im Intervall [mm] ]-\bruch{\pi}{2}+k\pi,\bruch{\pi}{2}-k\pi[ [/mm] mit k [mm] \in \IZ [/mm] liegen.
In der Aufgabe sind 2 Anfangsbedingungen gegeben.
zuerst benutze ich y'(0)=1=tan(o)+c=>c=1
Dann:
[mm] y(0)=\pi/4=-ln(cos(0))+0+d=> d=\pi/4
[/mm]
Kann bitte wer über meine Lösungen drüberschauen?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Hallo!
>
> Vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
> Ich hoffe, ich hab das richtig verstanden.
>
> Zu A)
> Also beim Integrieren kommt man dann auf
> [mm]y\left(x\right)=\integral_{}^{}{ \wurzel{xd+1} \ dx} [/mm]
>
> [mm]=\wurzel{xd+1}x+c[/mm] (mit c,d [mm]\in \IR).[/mm]
Differenziere diese Lösung, dann wirst Du sehen,
dass das nicht stimmt.
> Eine weitere Lösung wäre also auch
> [mm]y(x)=-\wurzel{xd+1}x+c[/mm]
> Nun nochmal zu den Definitionsgebieten.
> Ich würde sagen, dass das hier so definiert ist
> [mm]\ID=]\bruch{1}{d},\infty][/mm]
> Also gibt es 2 Lösungen mit dem selben
> Definitionsgebiet?
Du musst hier unterscheiden, ob d>0 oder d<0 ist.
>
> Zu B) und C)
> Also ich substituiere jetzt y'(x)=p(y(x)), also gilt auch
> y''(x)=p'(y(x))*p(y(x))
>
> In die DGL in B) eingesetzt ergibt das:
> [mm]p'p=\bruch{p}{cos^2(y)}[/mm]
> => [mm]p'=\bruch{1}{cos^2(y)}[/mm]
> Nach dem Integrieren erhalte ich
> p=tan(y)+c (c [mm]\in\IR)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun Rücksubstitution:
> y'(x)=tan(y)+c
> y(x)=-ln(cos(x))+cx+d (mit [mm]c,d\in\IR)[/mm]
Die Lösung der DGL
[mm]y'(x)=tan(y)+c[/mm]
ist nicht die angegebene.
>
> Es muss gelten cos(x)>0 sein, also muss cos(x) immer im
> Intervall [mm]]-\bruch{\pi}{2}+k\pi,\bruch{\pi}{2}-k\pi[[/mm] mit k
> [mm]\in \IZ[/mm] liegen.
>
> In der Aufgabe sind 2 Anfangsbedingungen gegeben.
> zuerst benutze ich y'(0)=1=tan(o)+c=>c=1
> Dann:
> [mm]y(0)=\pi/4=-ln(cos(0))+0+d=> d=\pi/4[/mm]
>
>
> Kann bitte wer über meine Lösungen drüberschauen?
>
> Vielen Dank
> TheBozz-mismo
>
Gruss
MathePower
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Hallo
Also ich hab versucht, deine Hinweise zu beachten.
Zu A)
Eine Stammfunktion von $ [mm] y\left(x\right)=\integral_{}^{}{ \wurzel{xd+1} \ dx} [/mm] $ ist [mm] \bruch{2\wurzel{(xd+1)^3}}{3d} [/mm] + e [e [mm] \in\IR]
[/mm]
d darf nicht Null werden, also macht man Fallunterscheidung
1.Fall d>0
Es muss wegen der Wurzel gelten [mm] x>-\bruch{1}{d}, [/mm] also bekomme ich 2 Definitionsgebiete
[mm] (-\bruch{1}{d},0) [/mm] und [mm] (0,\infty]
[/mm]
2.Fall d<0
Dann ist x immer größer Null, also bekomme ich nur ein Definitionsgebiet [mm] (-\bruch{1}{d},\infty]
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Zu B)
Also y'(x)=tan(y(x))+c gilt, dann würde ich sagen, dass man diese Dgl lösen kann; es ist eine trennbare Dgl, also gilt:
[mm] =>\bruch{y'(x)}{tan(y(x))+c}=1
[/mm]
Ist das richtig?? Bevor ich das Integral berechne, würde ich gern wissen, ob das überhapt richtig ist.
Zu C)
Nach der Substitution erhalte ich
[mm] =>p'p+p^2=(1+y)^2p
[/mm]
[mm] =>p'+p=(1+y)^2
[/mm]
Das ist eine lineaere Dgl.
Zuerst homene Lösung
[mm] p=e^{-x}d [d\in\IR]
[/mm]
Dann Variation der Konstante.
Ist das soweit richtig?
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Hallo
> Also ich hab versucht, deine Hinweise zu beachten.
>
> Zu A)
> Eine Stammfunktion von [mm]y\left(x\right)=\integral_{}^{}{ \wurzel{xd+1} \ dx}[/mm]
> ist [mm]\bruch{2\wurzel{(xd+1)^3}}{3d}[/mm] + e [e [mm]\in\IR][/mm]
> d darf nicht Null werden, also macht man
> Fallunterscheidung
> 1.Fall d>0
> Es muss wegen der Wurzel gelten [mm]x>-\bruch{1}{d},[/mm] also
> bekomme ich 2 Definitionsgebiete
> [mm](-\bruch{1}{d},0)[/mm] und [mm](0,\infty][/mm]
Du bekommst nur einen Definitionsbereich: [mm]\left(-\bruch{1}{d}, \infty\right[[/mm]
> 2.Fall d<0
> Dann ist x immer größer Null, also bekomme ich nur ein
> Definitionsgebiet [mm](-\bruch{1}{d},\infty][/mm]
>
Für d<0 ergibt sich:
[mm]d*x+1 \ge 0 \gdw -\vmat{d}*x+1 \ge 0 \Rightarrow x \le \bruch{1}{\vmat{d}}[/mm]
Demnach Definitionsbereich hier: [mm]\left]-\infty,\bruch{1}{\vmat{d}}\right)[/mm]
> Ist das soweit richtig?
>
> Zu B)
> Also y'(x)=tan(y(x))+c gilt, dann würde ich sagen, dass
> man diese Dgl lösen kann; es ist eine trennbare Dgl, also
> gilt:
> [mm]=>\bruch{y'(x)}{tan(y(x))+c}=1[/mm]
>
> Ist das richtig?? Bevor ich das Integral berechne, würde
> ich gern wissen, ob das überhapt richtig ist.
Das ist richtig.
>
> Zu C)
> Nach der Substitution erhalte ich
> [mm]=>p'p+p^2=(1+y)^2p[/mm]
> [mm]=>p'+p=(1+y)^2[/mm]
> Das ist eine lineaere Dgl.
> Zuerst homene Lösung
> [mm]p=e^{-x}d [d\in\IR][/mm]
> Dann Variation der Konstante.
>
> Ist das soweit richtig?
>
Ja.
> Vielen Dank für die Hilfe
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Gruss
MathePower
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