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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | a) Wie hängt die Lsg. der folgenden AWA vom Anfangswert n (weiß nicht wie das Tetta geht...) für kleine n ab?
[mm] y'=\alpha*tan(y)
[/mm]
y(0)=n
b)Wei hängt die Lsg der folgenden AWA vom rellen Parameter [mm] \alpha [/mm] ab.
[mm] x'=\alpha*(x^2+1), [/mm] x(0)=0 |
zu a)
da komme ich dann auf [mm] y(x)=arcsin(sin(n)*e^{\alpha*x})
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht so recht, was die bei der Aufgabe hören wollen.
Also der arcsin existier ja immer auf dem Intervall (-k,k), [mm] k\in \IN, [/mm] in dem Fall (-1,1) da der Anfangswert y(0)=n gegeben ist, der Graph also durch 0 gehen muss.
Kann man n dann auch schon auf [mm] (-\pi/2, \pi/2) [/mm] einschränken? Für kleine n (nahe bei 0), wird der Ausdruck [mm] e^{\alpha*x} [/mm] entsprechend groß...
Was gibts da sonst noch zu sagen
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Hallo Peon,
> a) Wie hängt die Lsg. der folgenden AWA vom Anfangswert n
> (weiß nicht wie das Tetta geht...) für kleine n ab?
So sieht der Code im Formeleditor aus: \eta
> [mm]y'=\alpha*tan(y)[/mm]
> y(0)=n
>
> b)Wei hängt die Lsg der folgenden AWA vom rellen Parameter
> [mm]\alpha[/mm] ab.
>
> [mm]x'=\alpha*(x^2+1),[/mm] x(0)=0
> zu a)
> da komme ich dann auf [mm]y(x)=arcsin(sin(n)*e^{\alpha*x})[/mm]
>
> Ich weiß jetzt nicht so recht, was die bei der Aufgabe
> hören wollen.
> Also der arcsin existier ja immer auf dem Intervall
> (-k,k), [mm]k\in \IN,[/mm] in dem Fall (-1,1) da der Anfangswert
> y(0)=n gegeben ist, der Graph also durch 0 gehen muss.
> Kann man n dann auch schon auf [mm](-\pi/2, \pi/2)[/mm]
> einschränken? Für kleine n (nahe bei 0), wird der
> Ausdruck [mm]e^{\alpha*x}[/mm] entsprechend groß...
>
> Was gibts da sonst noch zu sagen
Gebe die Lösung in Abhängigkeit vom Anfangswert an:
[mm]y\left(x;\eta\right)=arcsin(sin(\eta)*e^{\alpha*x})[/mm]
Das ist die charakeristische Funktion.
Gruss
MathePower
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hallo zusammen,
habe eine frage zu dieser aufgabe! mir ist hier nicht ganz klar, wie ich an diese aufgabe rangehen muss...muss ich zuerst die DGL lösen und dann den Anfangswert [mm] \eta [/mm] einsetzen?
wenn ich die dgl lösen muss, wie behandel ich dann y'= [mm] \alpha [/mm] * tan(y) als eine D'alembert dgl?
wäre super wenn mir das jemand erklären könnte..!
lg,
kekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> hallo zusammen,
>
> habe eine frage zu dieser aufgabe! mir ist hier nicht ganz
> klar, wie ich an diese aufgabe rangehen muss...muss ich
> zuerst die DGL lösen und dann den Anfangswert [mm]\eta[/mm]
> einsetzen?
Ja.
> wenn ich die dgl lösen muss, wie behandel ich dann y'=
> [mm]\alpha[/mm] * tan(y) als eine D'alembert dgl?
> wäre super wenn mir das jemand erklären könnte..!
Als DGL mit getrennten Veränderlichen.
>
> lg,
> kekschen
Gruss
MathePower
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ach okay,
hab das jetzt mal versucht umzuformen aber bei mir hats noch nicht wirklich geklappt...
[mm] y'=\alpha [/mm] *tan(y)
[mm] \bruch{y'}{tan(y)}= \alpha
[/mm]
nun integrieren
[mm] ln(sin(y))=\alpha*x+c
[/mm]
=> [mm] sin(y)=exp(\alpha*X)
[/mm]
nun mittels umkehrfunktion
[mm] arcsin(sin(y))=arcsin(exp(\alpha*x))
[/mm]
welchen fehler hab ich hier gemacht?
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Hallo Kampfkekschen,
> ach okay,
> hab das jetzt mal versucht umzuformen aber bei mir hats
> noch nicht wirklich geklappt...
>
> [mm]y'=\alpha[/mm] *tan(y)
>
> [mm]\bruch{y'}{tan(y)}= \alpha[/mm]
>
> nun integrieren
> [mm]ln(sin(y))=\alpha*x+c[/mm]
> => [mm]sin(y)=exp(\alpha*X)[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]sin(y)=exp(c)*exp(\alpha*X)[/mm]
Definieren wir k:=exp(c), so steht da:
[mm]sin(y)=k*exp(\alpha*X)[/mm]
> nun mittels umkehrfunktion
> [mm]arcsin(sin(y))=arcsin(exp(\alpha*x))[/mm]
>
> welchen fehler hab ich hier gemacht?
Die Konstante c ist auf dem Rechenweg verlorengegangen,
damit muss hier stehen:
[mm]arcsin(sin(y))=arcsin(k*exp(\alpha*x))[/mm]
Gruss
MathePower
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