Dgl max.eine Lsg,f mon.fallend < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 So 18.06.2017 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Sei f = f(t,u) eine stetige Funktion auf R := {(t,u) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] t_0\le [/mm] t [mm] \le t_0 [/mm] + a,|u− [mm] u_0|\le [/mm] b}, wobei a,b > 0 und [mm] u_0,t_0 \in \IR. [/mm] Für jedes festes t [mm] \in [t_0,t_0 [/mm] + a] sei die Funktion u [mm] \mapsto [/mm] f(t,u) monoton fallend in u. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem
[mm] \begin{cases} u'(t) = f(t,u(t)) \\ u(t_0)=u_0 \end{cases}
[/mm]
höchstens eine Lösung in [mm] [t_0,t_0 [/mm] + a] besitzt. Gilt die Behauptung immer noch, wenn ”fallend” durch ”steigend” ersetzt wird? |
Hallo ihr Lieben,
habt ihr zufällig einen Tipp für mich wie ich da vorgehen kann?
mir fäält ktuell nichts ein, was ich machen könnte.
ich suche ja höchstens eine Lösung der Gestalt [mm] u(t)=u_0 [/mm] + [mm] \int^{t}_{t_0} [/mm] f(s,u(s))ds
höchstens bedeutet ja keine oder eine.
f monoton fallend : [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] : [mm] f(x_1)\ge f(x_2) [/mm] würde doch hier bedeuten ich unterteile mein Intervall [mm] I=[t_0,t_0+a] [/mm] unn dann [mm] t_{01} [/mm] < [mm] t_{02} [/mm] : [mm] f(t_{01},u(t_{01})\le f(t_{02},u(t_{02}))
[/mm]
aber wie unterteile ich das?
wenn ich mir irgendwie eine Folge definiere [mm] u_m(t) [/mm] und dann [mm] J=[t_0,t_0+a/m] [/mm] oder so?
Bin mir gerade irgendwie total verwirrt.
Wäre super wenn ihr mich unterstützt und helft!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 So 18.06.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast es hier doch mit einer Dgl zu tun, da ist eine "Lösung" so wie du sie hinschreibst recht sinnlos, die unbekannte Funktion u kommt links und rechts vor!
Welche Sätze über Lösungen von Dgl erster Ordnung hattet ihr denn, die solltest du nachsehen.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 18.06.2017 | | Autor: | Noya |
> Hallo
> Du hast es hier doch mit einer Dgl zu tun, da ist eine
> "Lösung" so wie du sie hinschreibst recht sinnlos, die
> unbekannte Funktion u kommt links und rechts vor!
> Welche Sätze über Lösungen von Dgl erster Ordnung
> hattet ihr denn, die solltest du nachsehen.
> Gruß ledum
Hallöchen,
also wir haben angefangen mit
peano (+eine Folgerung für f stetig auf einem Rechteck)
[mm] \epsilon-Näherungslösung
[/mm]
Cauchy-Peano
Picard-Lindelöf
Picard-Iteration
Fortsetzung der Lösung
dann kamen Methoden zum lösen von Dgl 1.ordnung für lineare DGL und exakte DGL
weiß aber ehrlich gesagt nicht so genau was ich davon benutzen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mo 19.06.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
benutze Picard-Lindelöf , der einzige, der was über eindeutige Lösungen sagt.
Gruß ledum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mi 21.06.2017 | | Autor: | Noya |
Hab es per Widerspruch beweis gemacht und angenommen, dass ich zwei lösungen habe v [mm] \not= [/mm] aber für die gilt v < w, s.d dann gelten müsste f(t,v(t))>f(t,w(t) , was aber nicht gilt wenn ich die zwei lösungen habe. u.a. mit hilfe des mittelwertsatzes angwendet auf die differenz s=v-w, da ja f(t.v(t))=v'(t) .
Dank dir!
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