Dgl höherer Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung von [mm] x^{(4)}+2x``+x=0
[/mm]
b) Lösen Sie [mm] x^{(4)}+2x``+x=cost [/mm] |
a) ich hätte die Dgl jetzt in einer Dgl 1 ordnung umgewandelt. wäre aber auch eine substitution möglich? wenn ja was wäre ein geeigene substitution?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Do 26.06.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
für eine Substitution sehe ich keinen Ansatz. Nimm' die konventionelle Lösung
[mm] y=e^{\lambda x} [/mm] und dann 'straight forward'
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
ps: ist da kein Vorzeichenfehler drin?
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achso die koeffizienten sind ja konstant:
a) [mm] \lambda^3+2\lambda^2-1=0
[/mm]
[mm] (x^2+1)^2-2=0
[/mm]
[mm] x^2=+-\wurzel{2}-1
[/mm]
Fall1:
[mm] x^2=\wurzel{2}-1
[/mm]
[mm] x_{1/2}=+-\wurzel{\wurzel{2}-1}
[/mm]
Fall2:
[mm] x^2=-\wurzel{2}-1
[/mm]
[mm] x_{3/4}=+-i\wurzel{\wurzel{2}+1}
[/mm]
[mm] x(t)=C_1e^{\wurzel{\wurzel{2}-1}*t}+C_2e^{-\wurzel{\wurzel{2}-1}*t}+C_3*cos(i\wurzel{\wurzel{2}+1}*t)+C_4*sin(i\wurzel{\wurzel{2}+1}*t)
[/mm]
man benutzt substitution oder transformation dgl höherer ordnung in dgl 1 ordnung, wenn die koeffizienten nicht konstant sind stimmts?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Do 26.06.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
sorry, wie lautet denn nun die richtige Aufgabe ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Do 26.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
mist, da ist ein vorzeichenfehler.
richtig wäre [mm] \lambda^4+2\lambda^2+1=0
[/mm]
die frage hat sich erledigt, da es eine einfache aufgabe ist und ich hier nicht um korrektur bitten muss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Do 26.06.2014 | | Autor: | Herby |
Salut,
> mist, da ist ein vorzeichenfehler.
>
> richtig wäre [mm]\lambda^4+2\lambda^2+1=0[/mm]
mmh - das sieht fast aus, wie beim ersten Mal ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> die frage hat sich erledigt, da es eine einfache aufgabe
> ist und ich hier nicht um korrektur bitten muss
ok - wenn dir noch etwas einfällt, dann meld' dich einfach.
Grüße
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
> man benutzt substitution oder transformation dgl höherer
> ordnung in dgl 1 ordnung, wenn die koeffizienten nicht
> konstant sind stimmts?
nein, von den Koeffizienten hängt es nicht ab. Einzig von der Art der DGL selbst. Es gibt gewisse Arten, die kann man mit einer Substitution lösen und andere eben nicht (also nicht exakt, sondern mit Näherungslösungen). Bei den (Hoch-)Schul(ungs)aufgaben geht es aber eher um das Training mit Integral-, Differenzialrechnung, trigonometrischen Formeln usw. und letztlich darum, eine Lösungsmöglichkeit zu erkennen, wenn man einmal in seinem späteren Leben auf eine (meist mit physikalischem Hintergrund geprägte) Anforderung stößt, die es (mit welchen Annahmen auch immer) zu erfüllen gilt. So viele Faktoren, die im wahren Leben auf ein System einströmen, kann man mathematisch gar nicht 'exakt' erfassen und schon zweimal nicht derart lösen.
best wishes,
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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kann es sein das aufg b) nicht lösbar ist?
[mm] x^{(4)}+2x''+x=cost
[/mm]
[mm] \lambda^4+\lambda^2+1=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=-+i
[/mm]
b)
[mm] x_p(t)=Atcos(t)+B*t*sin(t)
[/mm]
[mm] x_p'(t)=A*cos(t)-A*t*sin(t)+B*sin(t)+B*t*cos(t)
[/mm]
[mm] x_p''(t)=-2Asin(t)-A*tcos(t)+2Bcos(t)-B*tsin(t)
[/mm]
[mm] x_p'''(t)=-3Acos(t)+A*tsin(t)-3Bsin(t)-B*tcos(t)
[/mm]
[mm] x_p''''(t)=4Asin(t)+A*tcos(t)-4Bcos(t)+4B*tsin(t)
[/mm]
wenn ich das nun in die Dgl einsetze, erhalte ich:
cos(t)=sin(t)*(4A+2Bt-4A-2Bt)+cos(t)*(4B+2At-4B-2At)
cos(t)=0
ich bekomme ein widerspruch, außer t ist [mm] \pi/2
[/mm]
ich kann die Konstanten A und b nicht bestimmen. Heißt das die Dgl ist nicht lösbar?
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Hallo arbeitsamt,
> kann es sein das aufg b) nicht lösbar ist?
>
Das kann nicht sein.
> [mm]x^{(4)}+2x''+x=cost[/mm]
>
> [mm]\lambda^4+\lambda^2+1=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}=-+i[/mm]
>
> b)
>
> [mm]x_p(t)=Atcos(t)+B*t*sin(t)[/mm]
>
> [mm]x_p'(t)=A*cos(t)-A*t*sin(t)+B*sin(t)+B*t*cos(t)[/mm]
>
> [mm]x_p''(t)=-2Asin(t)-A*tcos(t)+2Bcos(t)-B*tsin(t)[/mm]
>
> [mm]x_p'''(t)=-3Acos(t)+A*tsin(t)-3Bsin(t)-B*tcos(t)[/mm]
>
> [mm]x_p''''(t)=4Asin(t)+A*tcos(t)-4Bcos(t)+4B*tsin(t)[/mm]
>
> wenn ich das nun in die Dgl einsetze, erhalte ich:
>
> cos(t)=sin(t)*(4A+2Bt-4A-2Bt)+cos(t)*(4B+2At-4B-2At)
>
> cos(t)=0
>
> ich bekomme ein widerspruch, außer t ist [mm]\pi/2[/mm]
>
> ich kann die Konstanten A und b nicht bestimmen. Heißt das
> die Dgl ist nicht lösbar?
>
Es kommt auf die richtige Wahl des Ansatzes an.
Da cos(t) eine doppelte Lösung der DGL ist,
ist der normale Ansatz mit [mm]t^{2}[/mm] zu multiplizieren.
Demnach Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm]x_p\left(t\right)=t^{2}*\left( \ A*\cos\left(t\right)+B*\sin\left(t\right) \ \right)[/mm]
Damit solltest Du jetzt die Konstanten A und B bestimmen können.
Gruss
MathePower
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hallo,
achso [mm] \lambda_{1/2}=i [/mm] und [mm] \lambda_{3/4}=-i [/mm] sind jeweils doppelte nullstellen
ich habe also doppelte komplexe nullstellen. ist die folgende lösung für aufg a) richtig?
[mm] x(t)=C_1*sin(t)+C_2*sin(t)*t+C_3*cos(t)+C_4*cos(t)*t
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Fr 27.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja! und denk dran eine allgemeine lösung einer Dgl n ten Grades muss n Konstanten haben!
Gruß leduart
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