Dgl bauen?! < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 So 31.05.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | | Ein Fußball werde von Erdboden aus mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20m/s senkrecht nach oben geschossen. Berechnen Sie die maximale Höhe und die Zeit bis zum Erreichen dieser maximale Höhe einmal unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes und einmal unter Berücksichtigung eines Luftwiderstandes, der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist und bei einer Geschwindigkeit von 1m/s eine Verzögerung von [mm] 0,02m/s^2 [/mm] bewirkt. |
Hallo alle zusammen,
ich hab hier so einige Probleme damit mir mein gegebenes Problem in eine sinnvolle Gleichung zu übersetzen.
Also ich hab v=20m/s. Das ist ja die "Kraft" die den Ball nach oben bringen soll. Dann habe ich [mm] g=9,80665m/s^2 [/mm] als Erdanziehungskraft was dem entgegenwirkt und später den Luftwiederstand [mm] l(v)=0,02m/s^2 [/mm] (was ich noch irgendwie mit der geschwindigkeit verknüpfen muss)
Das Problem ist, dass dies unsere erste Anwendungsaufgabe ist und ich mir höchstens vorstellen könnte irgendwie v-g zu rechnen und bei der Kurve dann für die maximale höhe usw. ein extremwertproblem anzuhängen.
nur kommt ja bei v-g nix sinnvolles raus, zumindest nicht laut der einheiten in denen ich rechne.
Nen kleiner Tipp wo mein Denkfehler begraben liegt wäre großartig.
danke im vorraus, die Maxi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 So 31.05.2009 | | Autor: | schotti |
vielleicht so?
1. x'' + g = 0, x'(0) = 20
2. x'' + 0.02 [mm] (x')^2 [/mm] + g = 0, x'(0) = 20
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 So 31.05.2009 | | Autor: | maxi85 |
> vielleicht so?
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> 1. x'' + g = 0, x'(0) = 20
>
> 2. x'' + 0.02 [mm](x')^2[/mm] + g = 0, x'(0) = 20
hmm, ich gehe mal davon aus, dass du mit x die anfangsgeschwidigkeit meinst. wenn ich das richtig lese ziehst du das ganze dann als Anfangswertproblem auf, was mir auch irgendwie sinnvoll erscheint...
Aber wie bist du auf die Gleichungen gekommen? Einfach weil es passen könnte oder aus Erfahrung oder gibts da irgendeine regel die ich evt. kennen sollte?
mfg und danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 So 31.05.2009 | | Autor: | schotti |
im prinzip ist das ein newton'sches gesetz: "die summe aller kräfte, welche auf einen körper wirken, muss 0 sein." anders ausgedrückt: m x'' = - m g (minus, weil die gewichtskraft der bewegung entgegenwirkt.)
und mit x bezeichne ich übrigens die funktion x = x(t), also die in abhängigkeit von t zurückgelegte weglänge. statt den strichlein schreibt man üblicherweise punkte, aber die habe ich hier gerade nicht gefunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 31.05.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hmm ok, das habe ich soweit glaub ich zumindest verstanden. Nur komme ich damit trotzdem nicht wirklich weiter...
Ich habe:
x'' + g = 0 , x'(0)=20 [AWP]
x'' = -g
Also lösbar über Euler-Ansatz: Setze [mm] x=e^{\lambda t}
[/mm]
==> x'' = [mm] \lambda^2 e^{\lambda t}
[/mm]
==> [mm] \lambda_{1,2}=0
[/mm]
==> homogene Lösung ist: x(t) = [mm] C_1 e^{\lambda t} =C_1
[/mm]
Jetzt bräuchte ich noch die Inhomogene Lösung. Hier ist mir allerdings noch nicht ganz klar wie ich/du das vorhin in Formeln gepackt habe/hast.
Der Inhomogene Teil ist ja [mm] "-g=9,8m/s^2" [/mm] aber was gibt das als Formel in abhängigkeit von t? [mm] 9,8m/t^2 [/mm] klappt ja nicht weil t=0.
Oder muss ich hier mit was ganz anderem rangehen? Denn wenn ich mir das so recht überlege macht das was mir so an ansatzmöglichkeiten durch den Kopf geht wenig sinn (in bezug auf eine Lösung des Problems)
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 So 31.05.2009 | | Autor: | schotti |
nur nicht so kompliziert! (obwohl du natürlich mit deiner kanone den spatz auch totkriegen würdest...) einfach zweimal integrieren:
wenn x''(t) = -g,
dann x'(t)= -gt+c, wobei c=20 wegen der anfangsbedingung x'(0)=0.
und dann ist x(t)=-g/2 [mm] t^2+20t+c [/mm] (neues c, ist aber =0, wegen x(0)=0).
für die maximale höhe x_max suchst du den zeitpunkt t mit x'(t)=-gt+20=0.
für die zweite dglg müsste ich schon etwas länger nachdenken...
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Hallo,
[mm] $\dot [/mm] v = [mm] -g-\frac{0,02}{m}*v^2$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{g+\frac{0,02}{m}*v^2}\;dv=-\int \;dt$
[/mm]
[mm] $\wurzel{\frac{1}{\frac{0,02}{m}*g}}*arctan\left( \wurzel{\frac{\frac{0,02}{m}}{g}}*v\right)=-t+C$
[/mm]
v(t=0)=20m/s
[mm] $\wurzel{\frac{1}{\frac{0,02}{m}*g}}*arctan\left( \wurzel{\frac{\frac{0,02}{m}}{g}}*v\right)=-t+\wurzel{\frac{1}{\frac{0,02}{m}*g}}*arctan\left( \wurzel{\frac{\frac{0,02}{m}}{g}}*20\frac{m}{s}\right)$
[/mm]
[mm] $v=\wurzel{\frac{g}{\frac{0,02}{m}}}*tan\left[ -\wurzel{\frac{0,02}{m}*g}*t+arctan\left( \wurzel{\frac{\frac{0,02}{m}}{g}}*20\frac{m}{s}\right)\right]$
[/mm]
[mm] $s=50m*ln\left[cos\left( -\wurzel{\frac{0,02}{m}*g}*t+arctan\left( \wurzel{\frac{\frac{0,02}{m}}{g}}*20\frac{m}{s}\right) \right) \right]+s_0$
[/mm]
s(t=0)=0
[mm] $s=50m*ln\left[cos\left( -\wurzel{\frac{0,02}{m}*g}*t+arctan\left( \wurzel{\frac{\frac{0,02}{m}}{g}}*20\frac{m}{s}\right) \right) \right]-50m*ln\left[cos\left( arctan\left( \wurzel{\frac{\frac{0,02}{m}}{g}}*20\frac{m}{s}\right) \right) \right]$
[/mm]
[mm] $s=50m*ln\left[cos\left( -0,4429\frac{1}{s}*t+0,7345\right) \right]+14,909m$
[/mm]
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
es ist eine gute Rechnung!!!!!!!!!
Könntest du mir bitte erläutern wo du die Formel :
$ [mm] \dot [/mm] v = [mm] -g-\frac{0,02}{m}\cdot{}v^2 [/mm] $
herbekommst????
Liebe Grüße
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Hallo,
> Hallo Martinius,
>
> es ist eine gute Rechnung!!!!!!!!!
>
> Könntest du mir bitte erläutern wo du die Formel :
>
> [mm]\dot v = -g-\frac{0,02}{m}\cdot{}v^2[/mm]
>
> herbekommst????
>
> Liebe Grüße
[mm] $m*a=-m*g-k*v^2$
[/mm]
Hier ist m die Masse in kg und k die Proportionalitätskonsante in kg/Meter. Jetzt dividiere durch die Masse m:
$ [mm] \dot [/mm] v= [mm] -g-\frac{k}{m}*v^2$
[/mm]
$ [mm] \dot [/mm] v= [mm] -g-t*v^2$
[/mm]
Die Dimension von t ist 1/m = 1/Meter.
Nun weißt Du, dass die Bremsbeschleunigung R durch den Luftwiderstand
R=0,02 [mm] \frac{m}{s^2}=t*\left(1\frac{m}{s} \right)^2
[/mm]
ist.
Also ist
[mm] $t=0,02\frac{1}{m}$
[/mm]
; m = Meter.
LG, Martinius
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Hallo.
Deine Antwort war hilfreich aber ich verstehe noch nicht wie du auf:
> R=0,02 [mm]\frac{m}{s^2}=t*\left(1\frac{m}{s} \right)^2[/mm]
>
> ist.
>
> Also ist
>
> [mm]t=0,02\frac{1}{m}[/mm]
>
> ; m = Meter.
>
kommst???
Wie komme ich nun auf meine Zeit und Höhe???
Liebe Grüße
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Hallo,
> Hallo.
>
>
>
> Deine Antwort war hilfreich aber ich verstehe noch nicht
> wie du auf:
>
>
> > R=0,02 [mm]\frac{m}{s^2}=t*\left(1\frac{m}{s} \right)^2[/mm]
> >
> > ist.
> >
> > Also ist
> >
> > [mm]t=0,02\frac{1}{m}[/mm]
> >
> > ; m = Meter.
> >
> kommst???
>
>
> Wie komme ich nun auf meine Zeit und Höhe???
>
> Liebe Grüße
>
Das steht im letzten Satz der Aufgabe.
Bei v=1m/s ist die Bremsbeschleunigung R=0,02 [mm] m/s^2 [/mm] . Das setzt Du dann ein in
[mm] R=t*v^2 [/mm]
und bestimmst daraus dein t.
t ist keine Zeit - nur eine vielleicht etwas unglücklich gewählte Variable der Dimension 1/Meter.
LG, Martinius
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