Dgl 3 Ordnung part. Lös. fehlt < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mo 13.09.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Lösen sie:
[mm] y'''-2y''-4y'+8y=4e^{2x}+sinx [/mm] |
Hi Leute, mir ist unterwegs laut Wolfram Alpha eine Lösung abhanden gekommen, könnten wir die bitte suchen? ;)
Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1,2}=2, \lambda_3=-2
[/mm]
Daher sind die ersten 3 Teillösungen [mm] c_1*e^{2x}, c_2xe^{2x}, c_3e^{-2x}
[/mm]
Die 1. Inhomogenität ist [mm] 4e^{2x}. [/mm] Allgemein sieht das so aus: [mm] Q(x)e^{\alpha*x}.
[/mm]
Hier ist der Grad von Q 0, [mm] \alpha=2, \alpha [/mm] ist eine Nullstelle 2. Ordnung, daher sieht laut Skript mein Ansatz so aus:
Allgemein:
[mm] y_s=x^{k}(A_0+A_1x+...+A_{grad}*x^{grad})e^{\alpha*x}, [/mm] wenn [mm] p(\alpha)=0 [/mm] und k die exakte Ordnung dieser NS ist.
Also : [mm] y_s=Ax^2*e^{2x}, [/mm] oder habe ich hier die Definition falsch verstanden?
Das habe ich dann 3 Mal abgeleitet und in die DGL eingesetzt. Heraus kam [mm] 0.5x^2e^{2x}.
[/mm]
Jetzt fehlt hier aber angeblich [mm] -0.25xe^{2x}. [/mm] Wo kommt das denn her?
Bei der 2. Inhomogenität gibt es zwei Lösungen mit cos + sin, das weiß ich, aber laut Skript zumindest nicht in 1.
Danke für eure Hilfe!!
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Hallo kappen,
> Lösen sie:
> [mm]y'''-2y''-4y'+8y=4e^{2x}+sinx[/mm]
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> Hi Leute, mir ist unterwegs laut Wolfram Alpha eine Lösung
> abhanden gekommen, könnten wir die bitte suchen? ;)
>
> Eigenwerte sind [mm]\lambda_{1,2}=2, \lambda_3=-2[/mm]
> Daher sind
> die ersten 3 Teillösungen [mm]c_1*e^{2x}, c_2xe^{2x}, c_3e^{-2x}[/mm]
>
> Die 1. Inhomogenität ist [mm]4e^{2x}.[/mm] Allgemein sieht das so
> aus: [mm]Q(x)e^{\alpha*x}.[/mm]
> Hier ist der Grad von Q 0, [mm]\alpha=2, \alpha[/mm] ist eine
> Nullstelle 2. Ordnung, daher sieht laut Skript mein Ansatz
> so aus:
> Allgemein:
> [mm]y_s=x^{k}(A_0+A_1x+...+A_{grad}*x^{grad})e^{\alpha*x},[/mm]
> wenn [mm]p(\alpha)=0[/mm] und k die exakte Ordnung dieser NS ist.
>
>
> Also : [mm]y_s=Ax^2*e^{2x},[/mm] oder habe ich hier die Definition
> falsch verstanden?
Das hast Du schon richtig verstanden.
>
> Das habe ich dann 3 Mal abgeleitet und in die DGL
> eingesetzt. Heraus kam [mm]0.5x^2e^{2x}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt fehlt hier aber angeblich [mm]-0.25xe^{2x}.[/mm] Wo kommt das
> denn her?
Nun, das ist eine Lösung der homogenen DGL.
Vielleicht hast Du Dich auch nur bei der Eingabe vertippt.
>
> Bei der 2. Inhomogenität gibt es zwei Lösungen mit cos +
> sin, das weiß ich, aber laut Skript zumindest nicht in 1.
>
> Danke für eure Hilfe!!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 13.09.2010 | | Autor: | kappen |
Hm hab' mich nicht richtig ausgedrückt, Wolfram Alpha sagt, es gibt eben 2 inhomogene Anteile in der Lösung, eben [mm] -0.25xe^{2x} [/mm] und [mm] 0.5x^2e^{2x}, [/mm] ich konnte aber nur die 2. Lösung berechnen, daher frage ich mich, wo die erste her kommt ;)
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Hallo kappen,
> Hm hab' mich nicht richtig ausgedrückt, Wolfram Alpha
> sagt, es gibt eben 2 inhomogene Anteile in der Lösung,
> eben [mm]-0.25xe^{2x}[/mm] und [mm]0.5x^2e^{2x},[/mm] ich konnte aber nur die
> 2. Lösung berechnen, daher frage ich mich, wo die erste
> her kommt ;)
für mich gibt es nur eine schlüssige Erklärung:
Das charakterische Polynom der DGL besitzt die einfache
Nullstelle [mm]\lambda=2[/mm] und die 1. Inhomogenität lautet:
[mm]\left(c*x+d\right)*e^{2*x}, \ c,d \in \IR, \ c \not= 0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 13.09.2010 | | Autor: | kappen |
Hm, die 1. Inhomogenität lautet leider so wie es oben steht, [mm] 4e^{2x}, [/mm] und [mm] \lambda=2 [/mm] ist eine doppelte NS..
Vielleicht hat sich ja auch der Rechner vertan, soll schonmal vorkommen :D
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Hallo kappen,
> Hm, die 1. Inhomogenität lautet leider so wie es oben
> steht, [mm]4e^{2x},[/mm] und [mm]\lambda=2[/mm] ist eine doppelte NS..
Ok.
> Vielleicht hat sich ja auch der Rechner vertan, soll
> schonmal vorkommen :D
Ich nehme an, Du hast Mathematica installiert.
Poste doch mal, wie Du das dort eingegeben hast.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 13.09.2010 | | Autor: | kappen |
Bin leider gerade unter Linux unterwegs, hab' Mathematica da nicht, benutze momentan das Webdingen von denen: ![[]](/images/popup.gif) bitte klicken :)
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Hallo kappen,
> Bin leider gerade unter Linux unterwegs, hab' Mathematica
> da nicht, benutze momentan das Webdingen von denen:
> bitte klicken :)
Vielleicht hat auch dieses Online-Tool einen Schuss.
Denn bei
[mm]y''-2*y'+y=4*e^{x}[/mm]
liefert das Teil die richtige Lösung
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{x}+c_{2}*x*e^{x}+2*x^{2}*e^{x}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mo 13.09.2010 | | Autor: | kappen |
Japs, wobei es bisher recht hübsche Ergebnisse ablieferte.
Danke, dass du dir immer die Zeit für mich nimmst :)
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