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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:
y'''-y''-y'+y=0 |
Hallo,
allein aus der Überlegung heraus würde ich sagen, dass [mm] y=C*e^x [/mm] ist.
Aber nun zur Rechnung.
Zuerst muss ich das ja eine gleichwertig Dgl 1.Ordnung umformen, dazu:
[mm] y_1=y
[/mm]
[mm] y_2=y_1'=y'
[/mm]
[mm] y_3=y_2'=y''
[/mm]
damit [mm] y_3'=y_3+y_2-y. [/mm] Nun muss ich doch das charakt. Polynom ausrechenn oder?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 10.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
das Characteristische Polynom kannst Du direkt aus der Dgl. ablesen
[mm] \lambda^3-\lambda^2-\lambda+1=0
[/mm]
Eine Nullstelle bekommt man durch raten [mm] (\lambda_1=-1) [/mm] die anderen durch Polynomdivision.
Lösungen der Dgl. sind Funktionen der Form
[mm] f(x)=x^{r-1}e^{\lambda{x}} [/mm] mit r=Vielfachheit der Nullstelle des characteristischen Polynoms
mfg ullim
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Dann wäre die 2. Nullstelle bei [mm] \lambda_2=1.
[/mm]
also [mm] y_1=e^x, y_2=e^{-x} [/mm] ?
Gruß Leipziger
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Da hast du nicht Unrecht Loddar :)
somit ist [mm] y_1=x*e^x
[/mm]
Gruß Leipziger
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 So 10.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Fast stimmt es, aber zu einer doppelten Nullstelle gehören auch immer zwei unabhängige Lösungen, in diesem Falle [mm] e^x [/mm] und [mm] x \cdot e^x [/mm].
Viele Grüße,
Infinit
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
[mm] $\lambda [/mm] \ = \ +1$ ist eine doppelte Nullstelle!
