Dgl - Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme mithilfe geeigneter Substitutionen. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis durch eine Probe.
a) [mm] x'=\wurzel{5x+2t+3}-\bruch{2}{5} [/mm] mit x(1)=4, -1<t<3
b) [mm] x'=\bruch{1}{t}x-1-e^{\bruch{-x}{t}} [/mm] mit x(1)=0 |
wie sucht man nach einer geeigneten Substitution? z.b. bei Integration durch Substitution suche ich nach der geeigneten Substituion in dem ich prüfe ob die ableitung der substitution ein term der funktion kürzt.
Wie mach ich das nun bei Dgl?
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Hallo arbeitsamt,
> Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme mithilfe geeigneter
> Substitutionen. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis durch eine
> Probe.
>
> a) [mm]x'=\wurzel{5x+2t+3}-\bruch{2}{5}[/mm] mit x(1)=4, -1<t<3
>
> b) [mm]x'=\bruch{1}{t}x-1-e^{\bruch{-x}{t}}[/mm] mit x(1)=0
>
> wie sucht man nach einer geeigneten Substitution? z.b. bei
> Integration durch Substitution suche ich nach der
> geeigneten Substituion in dem ich prüfe ob die ableitung
> der substitution ein term der funktion kürzt.
>
> Wie mach ich das nun bei Dgl?
Es ist eine solche Substitution zu finden,
die die DGL auf einen bekannten Typ zurückführt.
Gruss
MathePower
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> Es ist eine solche Substitution zu finden,
> die die DGL auf einen bekannten Typ zurückführt.
die frage ist wie sieht man sowas am besten? ich habe bei a) die Wurzel substituiert, weil eine wurzel typisch für eine substitution ist. vielleicht brauch ich mehr übung, um sowas besser zu sehen:
a) [mm] x'=\wurzel{5x+2t+3}-\bruch{2}{5} [/mm]
[mm] U(t)=\wurzel{5x+2t+3}
[/mm]
[mm] U'(t)=\bruch{1}{2}\wurzel{5x+2t+3}*(5x'+2)
[/mm]
[mm] U'(t)=\bruch{1}{2}\wurzel{5x+2t+3}*(5(\wurzel{5x+2t+3}-\bruch{2}{5})+2)
[/mm]
[mm] U'(t)=\bruch{1}{2}U(t)*(5(U(t)-\bruch{2}{5})+2)
[/mm]
[mm] U'(t)=\bruch{1}{2}5U(t)^2
[/mm]
das ist jetzt eine homogene dgl 1 ordnung oder? ich hätte die gleichung nun integriert:
[mm] U(t)=\bruch{5}{6}U(t)^3
[/mm]
ist das richtig? mich stört der Exponent bei U(t)
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Hallo arbeitsamt,
> > Es ist eine solche Substitution zu finden,
> > die die DGL auf einen bekannten Typ zurückführt.
>
> die frage ist wie sieht man sowas am besten? ich habe bei
> a) die Wurzel substituiert, weil eine wurzel typisch für
> eine substitution ist. vielleicht brauch ich mehr übung,
> um sowas besser zu sehen:
>
> a) [mm]x'=\wurzel{5x+2t+3}-\bruch{2}{5}[/mm]
>
> [mm]U(t)=\wurzel{5x+2t+3}[/mm]
>
> [mm]U'(t)=\bruch{1}{2}\wurzel{5x+2t+3}*(5x'+2)[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]U'(t)=\bruch{1}{2}\bruch{5x'+2}{\wurzel{5x+2t+3}}[/mm]
> [mm]U'(t)=\bruch{1}{2}\wurzel{5x+2t+3}*(5(\wurzel{5x+2t+3}-\bruch{2}{5})+2)[/mm]
>
>
>
> [mm]U'(t)=\bruch{1}{2}U(t)*(5(U(t)-\bruch{2}{5})+2)[/mm]
>
>
> [mm]U'(t)=\bruch{1}{2}5U(t)^2[/mm]
>
> das ist jetzt eine homogene dgl 1 ordnung oder? ich hätte
> die gleichung nun integriert:
>
> [mm]U(t)=\bruch{5}{6}U(t)^3[/mm]
>
> ist das richtig? mich stört der Exponent bei U(t)
Ich hab da etwas viel einfacheres.
Gruss
MathePower
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[mm] U'(t)=\bruch{1}{2}\bruch{5x'+2}{\wurzel{5x+2t+3}}
[/mm]
[mm] U'(t)=\bruch{1}{2}\bruch{5(\wurzel{5x+2t+3}-\bruch{2}{5} )+2}{\wurzel{5x+2t+3}}
[/mm]
[mm] U'(t)=\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] U(t)=\bruch{5t}{2}+C
[/mm]
[mm] \wurzel{5x+2t+3}=\bruch{5t}{2}+C
[/mm]
[mm] 5x+2t+3=\bruch{25t^2}{4}+5t*C+C^2
[/mm]
Soll ich hier [mm] C^2 [/mm] in [mm] C_2 [/mm] umschreiben? [mm] C^2 [/mm] ist ja nichts anders als eine andere konstante, aber dann müsste ich C und [mm] C_2 [/mm] unterscheiden und zwei AWP lösen
[mm] x=\bruch{5t^2}{4}+t*C+\bruch{C^2}{5}-\bruch{2t}{5}-\bruch{3}{5}
[/mm]
das muss falsch sein, weil die Probe nicht ganz hinkommt. Das liegt wahrscheinlich an meiner Konstante C
sieht jemand den fehler?
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Hallo arbeitsamt,
> [mm]U'(t)=\bruch{1}{2}\bruch{5x'+2}{\wurzel{5x+2t+3}}[/mm]
>
> [mm]U'(t)=\bruch{1}{2}\bruch{5(\wurzel{5x+2t+3}-\bruch{2}{5} )+2}{\wurzel{5x+2t+3}}[/mm]
>
> [mm]U'(t)=\bruch{5}{2}[/mm]
>
> [mm]U(t)=\bruch{5t}{2}+C[/mm]
>
> [mm]\wurzel{5x+2t+3}=\bruch{5t}{2}+C[/mm]
>
Bestimme mit der gegebenen Anfangsbedingung zunächst die Konstante C.
> [mm]5x+2t+3=\bruch{25t^2}{4}+5t*C+C^2[/mm]
>
> Soll ich hier [mm]C^2[/mm] in [mm]C_2[/mm] umschreiben? [mm]C^2[/mm] ist ja nichts
> anders als eine andere konstante, aber dann müsste ich C
> und [mm]C_2[/mm] unterscheiden und zwei AWP lösen
>
> [mm]x=\bruch{5t^2}{4}+t*C+\bruch{C^2}{5}-\bruch{2t}{5}-\bruch{3}{5}[/mm]
>
> das muss falsch sein, weil die Probe nicht ganz hinkommt.
> Das liegt wahrscheinlich an meiner Konstante C
>
Nein, das liegt nicht an der Konstanten C.
Unabhängig von dieser Konstanten C ist die Lösung richtig.
> sieht jemand den fehler?
Gruss
MathePower
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Hallo
> > [mm]\wurzel{5x+2t+3}=\bruch{5t}{2}+C[/mm]
> Bestimme mit der gegebenen Anfangsbedingung zunächst die
> Konstante C.
muss ich nicht zuerst x(t) bestimmen und dann die Konstante C ?
[mm] \wurzel{5x+2t+3}=\bruch{5t}{2}+C
[/mm]
x(1)=4
[mm] \wurzel{20+2+3}=\bruch{5}{2}+C
[/mm]
C= [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
hast du das so gemeint?
> Unabhängig von dieser Konstanten C ist die Lösung
> richtig.
wieso unabhängig der Konstanten C? was genau stimmt damit nicht? Wieso löse ich das AWP mitten in der Dgl und nicht mit der allgemeinen Lösung x(t)?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Fr 20.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch x(t)), wenn auch nicht explizit, dann kannst du C doch bestimmen, und das ist viel einfacher als erst auflösen.
bis dann, lula
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Fr 20.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
hallo,
ich dachte meine lösung ist falsch, da ich die Probe gemacht und einen widerspruch bekommen habe. aber ich habe es nochmal versucht und habe nun eine wahre aussage bekommen. aufg a) hat sich erledigt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Fr 20.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
[mm] C=\bruch{3}{2} [/mm] oder [mm] \bruch{-5}{2}
[/mm]
frage hat sich erledigt
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> [mm]U'(t)=\bruch{1}{2}5U(t)^2[/mm]
> [mm]U(t)=\bruch{5}{6}U(t)^3[/mm]
> ist das richtig? mich stört der Exponent bei U(t)
nur mal so aus interesse. wie würde man folgende dgl lösen?
[mm]U'(t)=\bruch{1}{2}5U(t)^2[/mm]
ist das eine bernoulli-dgl? müsste man hier substituieren?
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Hallo,
> > [mm]U'(t)=\bruch{1}{2}5U(t)^2[/mm]
> > [mm]U(t)=\bruch{5}{6}U(t)^3[/mm]
> > ist das richtig? mich stört der Exponent bei U(t)
>
> nur mal so aus interesse. wie würde man folgende dgl
> lösen?
>
> [mm]U'(t)=\bruch{1}{2}5U(t)^2[/mm]
>
> ist das eine bernoulli-dgl?
Beantworte es dir ![[]](/images/popup.gif) selbst...
> müsste man hier substituieren?
Obige DGL löst man auf einfachstem Wege per Trennung der Variablen. Das kann man schon fast im Kopf rechnen...
Gruß, Diophant
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b) [mm] x'=\bruch{1}{t}x-1-e^{\bruch{-x}{t}}
[/mm]
[mm] u=\bruch{x}{t}
[/mm]
[mm] u'=x'*\bruch{1}{t}-\bruch{1}{t^2}*x
[/mm]
[mm] u'=(\bruch{1}{t}x-1-e^{\bruch{-x}{t}})*\bruch{1}{t}-\bruch{1}{t^2}*x
[/mm]
[mm] u'=-\bruch{1}{t}-\bruch{e^{-u}}{t}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{1-e^{-u}}du}=-\integral{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
ist das soweit richtig? das linke integral würde ich jetzt mit Partiablbruchzerlegung integrieren oder geht es einfacher?
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Erstens hast du einen Vorzeichenfehler. Zweitens beachte:
[mm]\frac{1}{1 + \operatorname{e}^{-u}} = \frac{\operatorname{e}^u}{1 + \operatorname{e}^u}[/mm]
Das geht jetzt gut mit der Substitutionsregel zu integrieren.
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[mm] \frac{1}{1 + \operatorname{e}^{-u}}=\frac{\operatorname{e}^u}{1 + \operatorname{e}^u}
[/mm]
[mm] \integral{\frac{\operatorname{e}^u}{1 + \operatorname{e}^u}du}= -\integral{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
[mm] z=1+e^u
[/mm]
[mm] \integral{\frac{1}{z}dz}= -\integral{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
ln|z|=-ln|t|+C
[mm] ln|1+e^u|=-ln|t|+C
[/mm]
[mm] 1+e^u=\bruch{C}{t}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{t}=ln(\bruch{C}{t}-1)
[/mm]
[mm] x(t)=t*ln(\bruch{C}{t}-1)
[/mm]
ist die Lösung richtig? bei der Probe bekomme ich keine wahre aussage.
aber vielleicht ist auch meine Ableitung falsch:
[mm] x'(t)=-ln|C*t-1|-t*\bruch{1}{C*t-1}
[/mm]
ist die ableitung richtig?
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Hallo arbeitsamt,
> [mm]\frac{1}{1 + \operatorname{e}^{-u}}=\frac{\operatorname{e}^u}{1 + \operatorname{e}^u}[/mm]
>
> [mm]\integral{\frac{\operatorname{e}^u}{1 + \operatorname{e}^u}du}= -\integral{\bruch{1}{t}dt}[/mm]
>
> [mm]z=1+e^u[/mm]
>
>
> [mm]\integral{\frac{1}{z}dz}= -\integral{\bruch{1}{t}dt}[/mm]
>
> ln|z|=-ln|t|+C
>
> [mm]ln|1+e^u|=-ln|t|+C[/mm]
>
> [mm]1+e^u=\bruch{C}{t}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{t}=ln(\bruch{C}{t}-1)[/mm]
>
> [mm]x(t)=t*ln(\bruch{C}{t}-1)[/mm]
>
Die Lösung ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist die Lösung richtig? bei der Probe bekomme ich keine
> wahre aussage.
> aber vielleicht ist auch meine Ableitung falsch:
>
> [mm]x'(t)=-ln|C*t-1|-t*\bruch{1}{C*t-1}[/mm]
>
> ist die ableitung richtig?
>
Leider nein.
Gruss
MathePower
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[mm] x(t)=t*ln(\bruch{C}{t}-1)
[/mm]
[mm] x(t)=t*ln(\bruch{C-t}{t})
[/mm]
x(t)=t*ln(c-t)-ln(t)
[mm] x`(t)=ln(c-t)+\bruch{t}{t-c}-\bruch{1}{t}
[/mm]
ist die ableitung richtig?
falls nicht, wie würde man folgenden Term ableiten:
[mm] ln(\bruch{C}{t}-1)
[/mm]
mit der Kettenregel? wie würde die äußere Ableitung aussehen?
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Hallo arbeitsamt,
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> [mm]x(t)=t*ln(\bruch{C}{t}-1)[/mm]
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> [mm]x(t)=t*ln(\bruch{C-t}{t})[/mm]
>
> x(t)=t*ln(c-t)-ln(t)
>
Hier fehlen die Klammern:
[mm]x(t)=t*\left\blue{(} \ ln(c-t)-ln(t)\right\blue{)}[/mm]
> [mm]x'(t)=ln(c-t)+\bruch{t}{t-c}-\bruch{1}{t}[/mm]
>
> ist die ableitung richtig?
>
Leider nein.
> falls nicht, wie würde man folgenden Term ableiten:
>
> [mm]ln(\bruch{C}{t}-1)[/mm]
>
> mit der Kettenregel? wie würde die äußere Ableitung
> aussehen?
So wie oben gemacht,
nur mit der richtigen Klammersetzung.
Gruss
MathePower
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