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| Aufgabe | Löse
y"-2y'+y=sinh x
- y(0)=1
- y'(0)=0 |
Hallo,
gleich noch ein Problem, ich steck irgendwie fest mit dem Resonanzfall hier:
als Loesung der charakt. Gleichung habe ich [mm] \lambda_{1/2}=1
[/mm]
[mm] y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}xe^{x}
[/mm]
und [mm] sinh=1/2e^x-1/2e^{-x}
[/mm]
[mm] y_{p}=(Ae^{x}-Be^{-x})x=Axe^x-Bxe^{-x}
[/mm]
und irgendwie komm ich dann nach meinen abgeleiteten partiellen Lsgen nur auf 4B=0??
...komisch...
Danke Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mi 21.02.2007 | | Autor: | wauwau |
> Löse
> y"-2y'+y=sinh x
> - y(0)=1
> - y'(0)=0
> Hallo,
>
> gleich noch ein Problem, ich steck irgendwie fest mit dem
> Resonanzfall hier:
> als Loesung der charakt. Gleichung habe ich
> [mm]\lambda_{1/2}=1[/mm]
>
> [mm]y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}xe^{x}[/mm]
> und [mm]sinh=1/2e^x-1/2e^{-x}[/mm]
>
> [mm]y_{p}=(Ae^{x}-Be^{-x})x=Axe^x-Bxe^{-x}[/mm]
>
> und irgendwie komm ich dann nach meinen abgeleiteten
> partiellen Lsgen nur auf 4B=0??
> ...komisch...
>
> Danke Tim
Partiell Lösung für
[mm]y'' - 2y' + y = \bruch{1}{2}e^{x}-\bruch{1}{2}e^{-x}[/mm]
(ii) beide seiten mit [mm] e^{-x} [/mm] multipliziert ergibt
[mm]y''e^{-x} - 2y'e^{-x} + ye^{-x} = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{2}e^{-2x}[/mm]
links steht jetzt aber nichts anderes als die 2. Ableitung von
[mm] (ye^{-x})''
[/mm]
zweimalige Integration ergibt:
[mm] ye^{-x} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8}e^{-2x} [/mm]
bzw.
y = [mm] \bruch{x^{2}e^{x}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8}e^{-x} [/mm]
und damit hast du deine partielle Lösung
Diese Methode (ohne zuerst die homogene zu lösen) hättest du sofort anwenden können, nur musst du dann beim zweifach integral noch die unbestimmten glieder hinzufügen
also
[mm](ye^{-x})'' = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{2}e^{-2x}[/mm]
gibt
[mm]ye^{-x} = \bruch{x^{2}}{4} - \bruch{1}{8}e^{-2x} + Cx + D[/mm]
und daher
[mm]y = \bruch{x^{2}e^{x}}{4} - \bruch{1}{8}e^{-x} + Cxe^{x} + De^{x} [/mm]
Das Bestimmen von C und D durch die Anfangswerte überlasse ich dir..
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dankeschön!
Wow, sag ich da nur, irgendwie wäre ich da wohl nicht drauf gekommen...
...erst recht nicht, wenn ich etwa 15min Zeit habe für die Aufgabe in der Klausur.
Ist das Routine, also hast du sowas schonmal gehabt oder sieht man sowas nach der Zeit einfach?
LG Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Do 22.02.2007 | | Autor: | wauwau |
Da i.a. inhomogene DGL sehr schwer zu lösen sind, ist es immer einen Versuch wert, die linke Seite mit einem inversen Teil der rechten zu multiplizieren und zu schauen, ob die Linke Seite nicht eine einfache 'einfache' oder eine einfache 'zweifache' Ableitung (nach Kettenregel) eine neuen Funktion y.irgendeine andere ist. Vor allem wenn die Lösung der homogenen einen Resonanzfall ergibt.
Eine weitere allg. methode ist zu substituieren
y = y.g mit unbekanntem g, die linke Seite auszurechnen und g zu 'erraten'
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