Dezimaldarstellung Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | In der Vorlesung wurde jeder rellen Zahl x, 0 /le x < 10, die Dezimaldarstellung [mm] (n_{0}, nm_{1},......) [/mm] gemäß
[mm] n_{0} [/mm] := floor(x), [mm] r_{0} [/mm] := {x}, [mm] n_{i} [/mm] := floor( [mm] 10r_{i-1}) [/mm] , [mm] r_{i} [/mm] := [mm] 10r_{i-1} [/mm] (i aus den natürlichen Zahlen) zugeordnet.
Es wurde gezeigt, dass die dieser Darstellung zugeordnete Folge
[mm] a_{m} [/mm] := [mm] \summe_{i=0}^{m} n_{i} 10^{-i} [/mm] (mit m aus natürl. Zahlen) eine Cauchyfolge ist.
(i)Weisen Sie nach, daSS [mm] (a_{m}) [/mm] gegen x konvergiert.
(ii) Existiert eine reelle Zahl x mit der Dezimaldarstellung (0,9,9,9...) gemäß obiger Definition? Beweisen sie ihre Ausssage. |
Wie gehe ich bei den Teilaufgaben vor.....ich habe leider keinerlei Ansatzpunkt.....?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mi 15.12.2010 | | Autor: | wauwau |
du kannst doch ganz einfach zeigen, dass
[mm] |a_m-x| [/mm] < [mm] 10^{-m}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Verstehe ich [mm] nicht......:|a_{m}-x|=|\summe_{i=0}^{m}n_{i}10^{-i} [/mm] -x|=...?
|
|
|
| |
|
Hilft mir bei meinem bis jetzt geschriebenen die geometrische Reihenumformung irgendwie weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 15.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz doch mal ein, was du über x und die [mm] n_i [/mm] weisst.
solange du nicht anfängst und probierst zu beweisen helfen hinweise selten. erst wenn man ne weile selbst rumgepuzzelt hat kann man mit tips was anfangen,
was kann man denn verwenden?
1. def. der Cauchyfolge
2. def der [mm] n_i [/mm] im zusammenhang mit x
3. Konvergenz von [mm] \summe_{i=0}^{m}n_{i}10^{-i} [/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Welcher Zusammenhang [mm] n_{i} [/mm] mit x in elcher Form....ich glaube dass würde mri dann schon weiterhelfen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 15.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hab ich aus deiner Aufgabe kopiert:
$ [mm] n_{0} [/mm] $ := floor(x), $ [mm] r_{0} [/mm] $ := {x}, $ [mm] n_{i} [/mm] $ := floor( $ [mm] 10r_{i-1}) [/mm] $ , $ [mm] r_{i} [/mm] $ := $ [mm] 10r_{i-1} [/mm] $
da steht der Zusammenhang!
|
|
|
| |
|
Ja ok....zur Konvergenz kann ich ja [mm] |a_{n}-x|=.... [/mm] setzten und umformen also für [mm] a_{n} [/mm] die Folge einsetzten aber wie bringe ich diesen Zusammenhang mit x da rein und dass muss ddann kleiner sein als was? ( Cauchy Folge kleiner epsilon)
|
|
|
| |
|
Ich komme echt nicht weiter bei dieser Hausi.....wollte des ganze Zeug eig. erst detailliert in den Weihnachtsferien nachholen....ist die letzte Hausi davor...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 17.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Also Ladies and Gentleman....I need Help but i know, da die Dezimalbruchentwichlungsfolge bereits als Cauchy- Folge definiert ist.....mus ich mithilfe des Vollständigkeitsaxiom die Vollständigkeit derer beweisen.....und fertig: x existiert....aber wie gehe ich da vor?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Do 16.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Wie weise ich das jetzt nach die Konvergenz??
Ich habe bereits indutkive Ansätze gesehen.....die mir allerdings komplex erscheinen und da ich ja weiß das das eine Cauchyfolge ist müsste es einfacher gehen?
Kann ich epsilon einfach als(10)^-m setzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst zu jedem /epsilon ein m angeben, sodass [mm] 10^{-m}<\epsilon
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
das heißt ich kann epsilon als 10^-m definieren da es bereis eine Cauchy Folge ist??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
man kann [mm] \epsilon [/mm] nicht "definieren" die sätze beginnen alle zu jedem beliebigen [mm] \epsilon>0.....
[/mm]
aber ich hatte dir ja gesagt, zu jedem bel [mm] \epsilon [/mm] gibt es ein m mit [mm] 10°{-m}<\epsilon.
[/mm]
deshalb versteh ich deine nachfrage nicht.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
OKay dann wäre ich über schrittweise Instruktionen hin zur Lösung enorm dankbar:
also so fange ich doch an: [mm] |a_{m}-x| [/mm] = [mm] |\summe_{i=0}^{m}n_{i} 10^{-i} -x|<\varepsilon [/mm] .....ist das der richtige Anfang.....bezieht sich auf Konvergenz einer Folge oder ist die Cauchyfolgen definition geeigneter: [mm] |a_{m} [/mm] - [mm] a_{n}|<\varepsilon [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht, ob du Cauchy oder GW Def. verwendest ist doch egal, dass [mm] |a_m-a_n|N_0 [/mm] ist ist hier ziemlich klar! du willst den GW x zeigen, also hst du seit n posts den ansatz der jetzt mal wieder da steht.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Nun ja meine neueren Gedanken sind: [mm] |n_{0}+\summe_{i=1}^{m}n_{i}10^{-i} [/mm] -x| = [mm] |x+\summe_{i=1}^{m}n_{i}10^{-i} [/mm] -x| = [mm] |\summe_{i=1}^{m}n_{i}10^{-i} |<\varepsilon....(kommt [/mm] aus der definition [mm] n_{0} [/mm] = floor(x) ) komme ich damit schon einmal weiter?
|
|
|
| |
|
Man kann beim Nachweis für die Konvergenz nutzen, dass die Folge k-> 10^-k eine Nullfolge ist und es damit für alle epsilon >0 ein k aus den natürlichen Zahlen gibt mit 10^-k<epsilon......aber wie wende ich das an?
|
|
|
| |
|
sei Sn die sumation bis zum n-ten glied und x der vermutete grenzwert
du kannst zeigen dass:
für ale eps ein n0 existiert mit: |Sn-x|<eps für alle n größer gleich n0.
also konvergiert Sn gegen x. was zu beweisen war
oder hab ich da was falsch verstanden?
|
|
|
| |
|
Ist alles über UNgleichungen induktiv zu lösen??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
so allgemein natürlich nicht!
Gruss leduart
|
|
|
|
