Determinanten ausrechnen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Do 14.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Hallo
[mm] det(\pmat{ 3-z & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 3-z & 0 & -1 \\-1 & 0 & 3-z & 0 \\0&-1&0&3-z }) [/mm] = [mm] det(\pmat{ 3-z & -1 & 0& 0 \\ -1& 3-z & 0 & 0 \\0& 0 & 3-z & -1 \\0&0&-1&3-z }) [/mm] |
Was hat der Professor gemacht in diesem Schritt?=
Ich hab schon einiges versucht, aber ich krieg die Matrix NIE in solch eine schöne Blockdiagonal gestalt.
Wenn man es nämlich mit Laplace macht, wird das Rechnen sehr zeitintensiv mit [mm] z^4 [/mm] usw.
Wie funktioniert hier also die Umformung?
Genauso bei:
[mm] det(\pmat{ 1 & 0 &0&0&2\\ 0&5&0&6&0\\0&0&9&0&0 \\0&8&0&7&0\\4&0&0&0&3}) =det(\pmat{ 1 & 2 &0&0&0\\ 4&3&0&0&0\\0&0&9&0&0 \\0&0&0&5&6\\0&0&0&8&7})
[/mm]
WIe kriegst er die schöne gestalt hin?
lg
|
|
| |
|
Hallo sissile,
bei der zweiten bin ich noch nicht ganz durchgestiegen, aber das kannst du dann ja mit meinem Tipp mal selbst versuchen:
> [mm]det(\pmat{ 3-z & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 3-z & 0 & -1 \\-1 & 0 & 3-z & 0 \\0&-1&0&3-z })[/mm]
> = [mm]det(\pmat{ 3-z & -1 & 0& 0 \\ -1& 3-z & 0 & 0 \\0& 0 & 3-z & -1 \\0&0&-1&3-z })[/mm]
>
> Was hat der Professor gemacht in diesem Schritt?=
Er hat
- die Zeilen 2 und 3 vertauscht
- dann die Spalten 2 und 3 vertauscht
Man kann die Reihenfolge auch ändern. Weshalb müssen es zwei Vertauschungen bzw. eine gerade Anzahl man Vertauschungen sein?
Auf eine ähnliche Art und Weise wird es bei der zweiten Matrix auch zugegangen sein.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Do 14.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Ich hab gedacht es ist verboten zeilen und spalten zu tauschen?
Ich dachte, man darf immer nur eines der beiden dinge tun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Do 14.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Ich hab gedacht es ist verboten zeilen und spalten zu
> tauschen?
> Ich dachte, man darf immer nur eines der beiden dinge tun?
Du kannst das nacheinander machen. Sei A eine quadratische Matrix.
Nimm an, dass wir in A zwei Spalten vertauschen. Es entsteht die Matrix B.
Nach den Regeln für determinanten ist
det(B)=-det(A).
Nun vertauschen wir in B zwei Zeilen, die so entstandene Matrix nennen wir C. Das läuft auf der Vertauschen von 2 Spalten in [mm] B^T [/mm] hinaus:
Wegen [mm] det(B^T)=det(B) [/mm] bekommen wir:
[mm] det(C)=det(C^T)=-det(B^T)=-det(B)=det(A).
[/mm]
FRED
|
|
|
|
