Determinanten < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 So 03.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo Zusammen,
ich habe irgendwo einen Fehler, ich weiß aber nicht wo er steckt.
Es geht mir um folgende Rechnungen:
[mm] $c(t)=(v_0 \cdot [/mm] sint, t, [mm] v_0 \cdot [/mm] cost)$
[mm] $c'(t)=(v_0 \cdot [/mm] cost, 1, - [mm] v_0 \cdot [/mm] sint)$
[mm] $c''(t)=(-v_0 \cdot [/mm] sint, 0, [mm] -v_0 \cdot [/mm] cost)$
[mm] $||c'(t)||=\sqrt{v_0^2 +1}$
[/mm]
Weiter gilt:
[mm] k_n= \frac{}{||c'(t)||^2}
[/mm]
[mm] k_g= \frac{det(c'(t),c''(t),n)}{||c'(t)^3||}=\frac{<(c''(t),n \times c'(t))}{||c'(t)^3||}
[/mm]
[mm] n=\frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}}\cdot(cost, -v_0, [/mm] -sint)
[mm] K^2=k_n^2 [/mm] + [mm] k_g^2
[/mm]
Nach meinen Berechnungen erhalte ich nun:
Für [mm] k_n: [/mm] $<c''(t), n> = 0 [mm] \Rightarrow k_n=0$
[/mm]
Für [mm] k_g:
[/mm]
$ n [mm] \times [/mm] c'(t) = [mm] (\frac{v_0^2sint + sint}{\sqrt{1+v_0^2}},0,\frac{cost+v_0^2 cost}{\sqrt{1+v_0^2}})$
[/mm]
[mm] k_g= $\frac{<(c''(t),n \times c'(t))>}{||c'(t)||^3} [/mm] = [mm] \frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2}$
[/mm]
[mm] $K^2=k_n^2 [/mm] + [mm] k_g^2 \gdw K^2= 0^2 [/mm] + [mm] (\frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2})^2 [/mm] $ [mm] \gdw K={\frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2}}
[/mm]
Jetzt gilt aber auch:
[mm] K=\frac{|c'(t) \times c''(t)|}{||c'(t)||^3}=\frac{(v_0^2+v_0^4)^\frac{1}{2}}{(1+v_0^2)^\frac{3}{2}}
[/mm]
Wo ist mein Fehler? Normalerweise müssten die beide K übereinstimmen...
Ich hoffe ihr könnt helfen!
Danke
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Hallo Bodo0686,
> Hallo Zusammen,
> ich habe irgendwo einen Fehler, ich weiß aber nicht wo er
> steckt.
> Es geht mir um folgende Rechnungen:
>
> [mm]c(t)=(v_0 \cdot sint, t, v_0 \cdot cost)[/mm]
> [mm]c'(t)=(v_0 \cdot cost, 1, - v_0 \cdot sint)[/mm]
>
> [mm]c''(t)=(-v_0 \cdot sint, 0, -v_0 \cdot cost)[/mm]
>
> [mm]||c'(t)||=\sqrt{v_0^2 +1}[/mm]
>
> Weiter gilt:
>
> [mm]k_n= \frac{}{||c'(t)||^2}[/mm]
> [mm]k_g= \frac{det(c'(t),c''(t),n)}{||c'(t)^3||}=\frac{<(c''(t),n \times c'(t))}{||c'(t)^3||}[/mm]
>
> [mm]n=\frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}}\cdot(cost, -v_0,[/mm] -sint)
n ist wohl der Binormalenvektor.
Der Vektor n muß gerade das Negative Deines errechneten Vektors n sein.
Das ergibt sich nach den ![[]](/images/popup.gif) Frenetschen Formeln.
> [mm]K^2=k_n^2[/mm] + [mm]k_g^2[/mm]
>
> Nach meinen Berechnungen erhalte ich nun:
>
> Für [mm]k_n:[/mm] [mm] = 0 \Rightarrow k_n=0[/mm]
> Für [mm]k_g:[/mm]
>
> [mm]n \times c'(t) = (\frac{v_0^2sint + sint}{\sqrt{1+v_0^2}},0,\frac{cost+v_0^2 cost}{\sqrt{1+v_0^2}})[/mm]
>
> [mm]k_g=[/mm] [mm]\frac{<(c''(t),n \times c'(t))>}{||c'(t)||^3} = \frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2}[/mm]
>
> [mm]K^2=k_n^2 + k_g^2 \gdw K^2= 0^2 + (\frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2})^2[/mm]
> [mm]\gdw K={\frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2}}[/mm]
>
> Jetzt gilt aber auch:
>
> [mm]K=\frac{|c'(t) \times c''(t)|}{||c'(t)||^3}=\frac{(v_0^2+v_0^4)^\frac{1}{2}}{(1+v_0^2)^\frac{3}{2}}[/mm]
>
> Wo ist mein Fehler? Normalerweise müssten die beide K
> übereinstimmen...
> Ich hoffe ihr könnt helfen!
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 03.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > Hallo Zusammen,
> > ich habe irgendwo einen Fehler, ich weiß aber nicht wo
> er
> > steckt.
> > Es geht mir um folgende Rechnungen:
> >
> > [mm]c(t)=(v_0 \cdot sint, t, v_0 \cdot cost)[/mm]
> > [mm]c'(t)=(v_0 \cdot cost, 1, - v_0 \cdot sint)[/mm]
>
> >
> > [mm]c''(t)=(-v_0 \cdot sint, 0, -v_0 \cdot cost)[/mm]
> >
> > [mm]||c'(t)||=\sqrt{v_0^2 +1}[/mm]
> >
> > Weiter gilt:
> >
> > [mm]k_n= \frac{}{||c'(t)||^2}[/mm]
> > [mm]k_g= \frac{det(c'(t),c''(t),n)}{||c'(t)^3||}=\frac{<(c''(t),n \times c'(t))}{||c'(t)^3||}[/mm]
>
> >
> > [mm]n=\frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}}\cdot(cost, -v_0,[/mm] -sint)
>
>
> n ist wohl der Binormalenvektor.
>
> Der Vektor n muß gerade das Negative Deines errechneten
> Vektors n sein.
>
> Das ergibt sich nach den
> Frenetschen Formeln.
>
>
> > [mm]K^2=k_n^2[/mm] + [mm]k_g^2[/mm]
> >
> > Nach meinen Berechnungen erhalte ich nun:
> >
> > Für [mm]k_n:[/mm] [mm] = 0 \Rightarrow k_n=0[/mm]
> > Für
> [mm]k_g:[/mm]
> >
> > [mm]n \times c'(t) = (\frac{v_0^2sint + sint}{\sqrt{1+v_0^2}},0,\frac{cost+v_0^2 cost}{\sqrt{1+v_0^2}})[/mm]
>
> >
> > [mm]k_g=[/mm] [mm]\frac{<(c''(t),n \times c'(t))>}{||c'(t)||^3} = \frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2}[/mm]
>
> >
> > [mm]K^2=k_n^2 + k_g^2 \gdw K^2= 0^2 + (\frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2})^2[/mm]
> > [mm]\gdw K={\frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2}}[/mm]
> >
> > Jetzt gilt aber auch:
> >
> > [mm]K=\frac{|c'(t) \times c''(t)|}{||c'(t)||^3}=\frac{(v_0^2+v_0^4)^\frac{1}{2}}{(1+v_0^2)^\frac{3}{2}}[/mm]
>
> >
> > Wo ist mein Fehler? Normalerweise müssten die beide K
> > übereinstimmen...
> > Ich hoffe ihr könnt helfen!
> > Danke
>
>
> Gruss
> MathePower
Also so?
[mm] n=-\frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}}\cdot(cost, -v_0, [/mm] -sint)
Wenn dem so wäre, dann würde sich [mm] k_g [/mm] aber nur wesentlich verändern:
[mm] k_g= \frac{v_0^3+v_0}{\sqrt(1+v_0^2)} [/mm] und damit wären die K immer noch nicht gleich...
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo0686,
> >
> > > Hallo Zusammen,
> > > ich habe irgendwo einen Fehler, ich weiß aber nicht
> wo
> > er
> > > steckt.
> > > Es geht mir um folgende Rechnungen:
> > >
> > > [mm]c(t)=(v_0 \cdot sint, t, v_0 \cdot cost)[/mm]
> > >
> [mm]c'(t)=(v_0 \cdot cost, 1, - v_0 \cdot sint)[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]c''(t)=(-v_0 \cdot sint, 0, -v_0 \cdot cost)[/mm]
> > >
> > > [mm]||c'(t)||=\sqrt{v_0^2 +1}[/mm]
> > >
> > > Weiter gilt:
> > >
> > > [mm]k_n= \frac{}{||c'(t)||^2}[/mm]
> > > [mm]k_g= \frac{det(c'(t),c''(t),n)}{||c'(t)^3||}=\frac{<(c''(t),n \times c'(t))}{||c'(t)^3||}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]n=\frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}}\cdot(cost, -v_0,[/mm] -sint)
> >
> >
> > n ist wohl der Binormalenvektor.
> >
> > Der Vektor n muß gerade das Negative Deines errechneten
> > Vektors n sein.
> >
> > Das ergibt sich nach den
> > Frenetschen Formeln.
>
> >
>
> >
> > > [mm]K^2=k_n^2[/mm] + [mm]k_g^2[/mm]
> > >
> > > Nach meinen Berechnungen erhalte ich nun:
> > >
> > > Für [mm]k_n:[/mm] [mm] = 0 \Rightarrow k_n=0[/mm]
> > >
> Für
> > [mm]k_g:[/mm]
> > >
> > > [mm]n \times c'(t) = (\frac{v_0^2sint + sint}{\sqrt{1+v_0^2}},0,\frac{cost+v_0^2 cost}{\sqrt{1+v_0^2}})[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]k_g=[/mm] [mm]\frac{<(c''(t),n \times c'(t))>}{||c'(t)||^3} = \frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]K^2=k_n^2 + k_g^2 \gdw K^2= 0^2 + (\frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2})^2[/mm]
> > > [mm]\gdw K={\frac{-v_0^3-v_0}{(1+v_0^2)^2}}[/mm]
> > >
> > > Jetzt gilt aber auch:
> > >
> > > [mm]K=\frac{|c'(t) \times c''(t)|}{||c'(t)||^3}=\frac{(v_0^2+v_0^4)^\frac{1}{2}}{(1+v_0^2)^\frac{3}{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wo ist mein Fehler? Normalerweise müssten die beide K
> > > übereinstimmen...
> > > Ich hoffe ihr könnt helfen!
> > > Danke
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Also so?
>
> [mm]n=-\frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}}\cdot(cost, -v_0,[/mm] -sint)
Ja.
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 03.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
damit hätte ich aber nur eine wesentliche Veränderung.
[mm] k_g=\frac{v_0^3+v_0}{(1+v_0^2)^2}
[/mm]
Damit wären die beiden K aber immer noch nicht gleich.
Für [mm] k_n [/mm] ändert sich ja nichts und bleibt ja 0....
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Hallo,
> damit hätte ich aber nur eine wesentliche Veränderung.
> [mm]k_g=\frac{v_0^3+v_0}{(1+v_0^2)^2}[/mm]
> Damit wären die beiden K aber immer noch nicht gleich.
Der Vektor [mm]n \times c'(t)[/mm] ist zu normieren.
> Für [mm]k_n[/mm] ändert sich ja nichts und bleibt ja 0....
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 03.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo, also hätte ich:
$||n|| = [mm] \frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}}$
[/mm]
[mm] k_g= \frac{(c''(t), n \times c'(t))}{||c'(t)||^3}
[/mm]
Aber wie soll ich denn jetzt n [mm] \times [/mm] c'(t) rechnen? Das klappt doch nicht...
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Hallo, also hätte ich:
>
> [mm]||n|| = \frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}}[/mm]
>
> [mm]k_g= \frac{(c''(t), n \times c'(t))}{||c'(t)||^3}[/mm]
>
> Aber wie soll ich denn jetzt n [mm]\times[/mm] c'(t) rechnen? Das
> klappt doch nicht...
Im Eröffnungspost hast Du das auch berechnet.
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 03.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
Ja, da hatte ich doch auch drei Einträge bei n. Bei c''(t) liegen ja auch drei Einträge vor... dann klappts doch...
Jetzt habe ich doch n normiert, jetzt hab ich doch nur noch [mm] \frac{1}{\sqrt{1+vo_^2}} [/mm] dort stehen...
Also
$n [mm] \times [/mm] c'(t)$ = [mm] \frac{1}{\sqrt{1+v_o^2}} \times (-v_0 \cdot [/mm] sint, 0, [mm] -v_0 \cdot [/mm] t)
.... Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Ja, da hatte ich doch auch drei Einträge bei n. Bei c''(t)
> liegen ja auch drei Einträge vor... dann klappts doch...
>
> Jetzt habe ich doch n normiert, jetzt hab ich doch nur noch
> [mm]\frac{1}{\sqrt{1+vo_^2}}[/mm] dort stehen...
>
> Also
> [mm]n \times c'(t)[/mm] = [mm]\frac{1}{\sqrt{1+v_o^2}} \times (-v_0 \cdot[/mm]
> sint, 0, [mm]-v_0 \cdot[/mm] t)
>
Dieser Vektor stimmt nicht und ist auch nicht zu normieren.
Kontrollergebnis:
[mm]n \times c'(t) =\sqrt{1+v_o^2}\pmat{-\sin\left(t\right), 0, -\cos\left(t\right))[/mm]
Dann ergibt
[mm]=v_o*\sqrt{1+v_o^2}[/mm]
> .... Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also du hast jetzt mit
[mm] $n=\frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}} \cdot [/mm] (-cost, [mm] v_0, [/mm] sint)$
$c'(t)= [mm] (v_0\cdot [/mm] cost, 1, [mm] -v_0 [/mm] sint) $
gerechnet?
Ich habe n [mm] \times [/mm] c'(t)= [mm] (\frac{-v_0^2 \cdot sint -sint}{\sqrt(1+v_0^2)},0,\frac{-cost- v_0 \cdot cost}{\sqrt(1+v_0^2)})
[/mm]
heraus.
[mm] ||n\times c'(t)||=\frac{1+v_0^4+2v_0^2}{1+v_0^2}
[/mm]
Stimmt das bis hierin?
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Hallo Bodo0686,
> Hallo,
> also du hast jetzt mit
>
> [mm]n=\frac{1}{\sqrt{1+v_0^2}} \cdot (-cost, v_0, sint)[/mm]
>
> [mm]c'(t)= (v_0\cdot cost, 1, -v_0 sint)[/mm]
>
> gerechnet?
>
Ja.
> Ich habe n [mm]\times[/mm] c'(t)= [mm](\frac{-v_0^2 \cdot sint -sint}{\sqrt(1+v_0^2)},0,\frac{-cost- v_0 \cdot cost}{\sqrt(1+v_0^2)})[/mm]
>
> heraus.
>
> [mm]||n\times c'(t)||=\frac{1+v_0^4+2v_0^2}{1+v_0^2}[/mm]
>
> Stimmt das bis hierin?
>
Das stimmt bis hierhin.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
und jetzt gilt ja für [mm] $k_g=\frac{}{||c'(t)||^3}$
[/mm]
jetzt muss ich $ <c'', [mm] n\times [/mm] c'>$ berechnen?
Wenn ja, habe ich dort:
$<c'', [mm] n\times c'>=\frac{v_0^3 + v_0}{\sqrt{1+v_0^2}}$
[/mm]
[mm] ||c'(t)||^3=(v_0+1)^\frac{3}{2}
[/mm]
[mm] k_g= \frac{v_0^3+v_0}{(1+v_0)^2}
[/mm]
Die Aufgabe muss heute erledigt sein, ich schreibe morgen Klausur ;)
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Hallo Bodo0686,
> und jetzt gilt ja für [mm]k_g=\frac{}{||c'(t)||^3}[/mm]
>
> jetzt muss ich [mm][/mm] berechnen?
>
> Wenn ja, habe ich dort:
>
> [mm]=\frac{v_0^3 + v_0}{\sqrt{1+v_0^2}}[/mm]
>
> [mm]||c'(t)||^3=(v_0+1)^\frac{3}{2}[/mm]
>
> [mm]k_g= \frac{v_0^3+v_0}{(1+v_0)^2}[/mm]
>
Das muss doch hier lauten:
[mm]k_g= \frac{v_0^3+v_0}{\left(1+v_0^{2}\right)^{2}}[/mm]
Den Zähler kannst Du noch faktorisieren:
[mm]v_0^3+v_0=v_{o}\left(v_{o}^{2}+1\right)[/mm]
Der Rest sollte dann kein Problem mehr sein.
> Die Aufgabe muss heute erledigt sein, ich schreibe morgen
> Klausur ;)
Viel Glück.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
1. Ich muss dann immer das negative von meinem n Vektor nehmen?
2. [mm] k_g=\frac{v_0}{(1+v_0^2)}
[/mm]
3. [mm] k_n=0
[/mm]
4. Jetzt gilt auch [mm] K=\frac{|c' \times c''|}{||c'||^3}=\frac{\sqrt{v_0^2+v_0^4}}{(1+v_0^2)^\frac{3}{2}}
[/mm]
Weiter kann man K wie folgt berechnen:
[mm] K^2 [/mm] = [mm] k_n^2 [/mm] + [mm] k_g^2 [/mm]
jetzt einsetzen:
[mm] K^2= 0+(\frac{v_0}{(1+v_0^2)})^2
[/mm]
[mm] K=\frac{v_0}{(1+v_0^2)}
[/mm]
Aber die K stimmen doch nicht überein? Kannst du mir das kurz sagen?!
Danke!
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Hallo Bodo0686,
> 1. Ich muss dann immer das negative von meinem n Vektor
> nehmen?
>
n ist so zu nehmen, daß es mit c' und c'' ein Rechtssystem bildet.
Das heißt:
[mm]\operatorname{det}\left(c',c'',n\right) > 0[/mm]
> 2. [mm]k_g=\frac{v_0}{(1+v_0^2)}[/mm]
> 3. [mm]k_n=0[/mm]
>
> 4. Jetzt gilt auch [mm]K=\frac{|c' \times c''|}{||c'||^3}=\frac{\sqrt{v_0^2+v_0^4}}{(1+v_0^2)^\frac{3}{2}}[/mm]
>
> Weiter kann man K wie folgt berechnen:
>
> [mm]K^2[/mm] = [mm]k_n^2[/mm] + [mm]k_g^2[/mm]
>
> jetzt einsetzen:
>
> [mm]K^2= 0+(\frac{v_0}{(1+v_0^2)})^2[/mm]
> [mm]K=\frac{v_0}{(1+v_0^2)}[/mm]
>
> Aber die K stimmen doch nicht überein? Kannst du mir das
> kurz sagen?!
Das vorgegebene K und Dein berechnetes K sind gleich,
da sie nur aus Umformungen hervorgehen.
[mm]\sqrt{v_0^2+v_0^4}=v_0*\sqrt{1+v_0^2}, \ v_o > 0[/mm]
> Danke!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
ja, ich habs grad mal anders aufgeschrieben. Die stimmen beide überein!
Danke!
Aber eine letzte Frage habe ich noch. Ich musste ja das negative von meinem n Vektor nehmen. Ist das immer der Fall oder nur unter bestimmten Umständen?
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Hi,
> ja, ich habs grad mal anders aufgeschrieben. Die stimmen
> beide überein!
> Danke!
>
> Aber eine letzte Frage habe ich noch. Ich musste ja das
> negative von meinem n Vektor nehmen. Ist das immer der Fall
> oder nur unter bestimmten Umständen?
>
Ich habe meine vorherige Antwort editiert.
c',c'' und n müssen in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden,
d.h.
[mm]\operatorname{det}\left(c',c'',n\right) > 0[/mm]
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Mo 04.03.2013 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok, Danke!
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