Determinante von Spurformen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Morgen,
ich lerne gerade für eine Prüfung in der algebraischen Zahlentheorie. In der Vorlesung kam an einer Stelle ein Beispiel dran, welches ich an einer Stelle nicht nachvollziehen kann. (Angeblich stellt der Prof. in den Prüfungen gerne Fragen dazu). Es lautet:
Sei p eine Primzahl und [mm]\zeta[/mm] die p-te Einheitswurzel.
1. Dann ist L:=[mm]\IQ[\zeta][/mm] ein p-1 dimensionaler [mm]\IQ[/mm] Vektorraum.
2. Sei [mm]\alpha \in K:= \IQ[\zeta]\cap \IR[/mm]. Dann ist [mm]b_{\alpha}(x,y):= \textrm{Spur}_{[L:\IQ]}(\alpha v \overline{w})[/mm] eine symmetrische Bilinearform auf dem [mm] $\IQ$ [/mm] Vektorraum $L$.
3. Die Determinante von $b$ ist [mm]\det(b_\alpha)\textbf{=} Norm_{[L:\IQ]}(\alpha)\cdot \det(b_1)\in p*(\IQ)^2[/mm]
Bis auf das dicke "=" in 3. konnte ich alles nachrechnen oder es steht quasi in vorherigen Lemmata. Bei diesem [mm] $\textbf{=}$ [/mm] habe ich aber große Probleme. Ich hoffe es hat jemand eine Idee, wie man das nachrechnen könnte. Mein vielversprechenster Ansatz ist der folgende:
[mm]\det(b_{\alpha}(x,y)):= \det(\textrm{Spur}_{[L:\IQ]}(\alpha v \overline{w})) [/mm]
[mm]= \det(\textrm{Spur}_{[K:\IQ]}(\textrm{Spur}_{[L:K]}(\alpha v \overline{w})) [/mm]
[mm]= \det(\textrm{Spur}_{[K:\IQ]}(\alpha \cdot \textrm{Spur}_{[L:K]}(v \overline{w}))[/mm]
Fange ich bei der anderen Seite zu rechnen an erhalte ich:
[mm]Norm_{[L:\IQ]}(\alpha)\cdot \det(b_1) = \det(\alpha) \cdot \det (\textrm{Spur}(v\overline{w}))[/mm]
[mm]= \det(\alpha \cdot \textrm{Spur}_{[L:\IQ]}(v\overline{w}))[/mm]
Ich sehe nicht, wie man beide Seiten zusammen führen könnte, da die Spur nicht multiplikativ ist. Evtl. ist der Ansatz ja auch nicht zielführend bzw. es gibt eine schönere Lösung.
Vielen Dank schonmal an alle Helfer
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mi 15.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich lerne gerade für eine Prüfung in der algebraischen
> Zahlentheorie. In der Vorlesung kam an einer Stelle ein
> Beispiel dran, welches ich an einer Stelle nicht
> nachvollziehen kann. (Angeblich stellt der Prof. in den
> Prüfungen gerne Fragen dazu). Es lautet:
>
> Sei p eine Primzahl und [mm]\zeta[/mm] die p-te Einheitswurzel.
> 1. Dann ist L:=[mm]\IQ[\zeta][/mm] ein p-1 dimensionaler [mm]\IQ[/mm]
> Vektorraum.
> 2. Sei [mm]\alpha \in K:= \IQ[\zeta]\cap \IR[/mm]. Dann ist
> [mm]b_{\alpha}(x,y):= \textrm{Spur}_{[L:\IQ]}(\alpha v \overline{w})[/mm]
Was sind $v$ und $w$, in Relation zu $x$ und $y$? Und was soll das [mm] $\overline{\cdot}$ [/mm] sein; die komplexe Konjugation?
> eine symmetrische Bilinearform auf dem [mm]\IQ[/mm] Vektorraum [mm]L[/mm].
> 3. Die Determinante von [mm]b[/mm] ist [mm]\det(b_\alpha)\textbf{=} Norm_{[L:\IQ]}(\alpha)\cdot \det(b_1)\in p*(\IQ)^2[/mm]
>
> Bis auf das dicke "=" in 3. konnte ich alles nachrechnen
> oder es steht quasi in vorherigen Lemmata. Bei diesem
> [mm]\textbf{=}[/mm] habe ich aber große Probleme. Ich hoffe es hat
> jemand eine Idee, wie man das nachrechnen könnte. Mein
> vielversprechenster Ansatz ist der folgende:
>
> [mm]\det(b_{\alpha}(x,y)):= \det(\textrm{Spur}_{[L:\IQ]}(\alpha v \overline{w}))[/mm]
>
> [mm]= \det(\textrm{Spur}_{[K:\IQ]}(\textrm{Spur}_{[L:K]}(\alpha v \overline{w}))[/mm]
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> [mm]= \det(\textrm{Spur}_{[K:\IQ]}(\alpha \cdot \textrm{Spur}_{[L:K]}(v \overline{w}))[/mm]
>
> Fange ich bei der anderen Seite zu rechnen an erhalte ich:
> [mm]Norm_{[L:\IQ]}(\alpha)\cdot \det(b_1) = \det(\alpha) \cdot \det (\textrm{Spur}(v\overline{w}))[/mm]
Also [mm] $\det(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha \in [/mm] K$ ist sicher nicht das gleiche wie [mm] $Norm_{[L:\IQ]}(\alpha) \in \IQ$! [/mm] (Ausser falls $L = [mm] \IQ$ [/mm] ist...)
> [mm]= \det(\alpha \cdot \textrm{Spur}_{[L:\IQ]}(v\overline{w}))[/mm]
>
> Ich sehe nicht, wie man beide Seiten zusammen führen
> könnte, da die Spur nicht multiplikativ ist. Evtl. ist der
> Ansatz ja auch nicht zielführend bzw. es gibt eine
> schönere Lösung.
Sag doch erstmal was [mm] $b_\alpha$ [/mm] genau sein soll.
LG Felix
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Entschuldige bitte. Da habe ich eine falsche Notation verwendet. Das ging in de Vorlesung leider auch häufiger durcheinander.
Also nocheinmal von vorne:
p ist eine ungerade Primzahl.
[mm]L:=\IQ[\zeta][/mm] (der p-te Kreisteilungskörper) aufgefasst als[mm]\IQ[/mm]Vektorraum.
[mm]K:=L\cap\IR[/mm] der maximale reelle Teilkörper von L
Der Querstrich ist die komplexe Konjugation.
[mm]\alpha \in K[/mm] beliebig
Auf L wird nun wie folgt eine Bilinearform definiert:
[mm]b_\alpha: \IQ[\zeta] \times \IQ[\zeta] \to \IQ[/mm]
[mm] (v,w) \mapsto \textrm{Spur}_{[\IQ[\zeta] : \IQ]} (\alpha v \overline{w})[/mm]
Die Frage lautet nun: Warum gilt [mm] \det(b_\alpha)\textbf{=} \textrm{Norm}_{[L:\IQ]}(\alpha)\cdot \det(b_1)[/mm]?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mi 15.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Entschuldige bitte. Da habe ich eine falsche Notation
> verwendet. Das ging in de Vorlesung leider auch häufiger
> durcheinander.
Kein Problem :)
> Also nocheinmal von vorne:
>
> p ist eine ungerade Primzahl.
> [mm]L:=\IQ[\zeta][/mm] (der p-te Kreisteilungskörper) aufgefasst
> als[mm]\IQ[/mm]Vektorraum.
> [mm]K:=L\cap\IR[/mm] der maximale reelle Teilkörper von L
> Der Querstrich ist die komplexe Konjugation.
> [mm]\alpha \in K[/mm] beliebig
>
> Auf L wird nun wie folgt eine Bilinearform definiert:
> [mm]b_\alpha: \IQ[\zeta] \times \IQ[\zeta] \to \IQ[/mm]
> [mm](v,w) \mapsto \textrm{Spur}_{[\IQ[\zeta] : \IQ]} (\alpha v \overline{w})[/mm]
>
> Die Frage lautet nun: Warum gilt [mm]\det(b_\alpha)\textbf{=} \textrm{Norm}_{[L:\IQ]}(\alpha)\cdot \det(b_1)[/mm]?
Bleibt noch die Frage: was ist die Determinante einer symmetrischen Bilinearform? Wenn man die Determinante irgendeiner Grammatrix (zu irgendeiner [mm] $\IQ$-Basis [/mm] von $L$) nimmt, ist die Determinante eindeutig bis auf Quadrate in [mm] $\IQ^\ast$. [/mm] Das ist nur bedingt hilfreich.
Falls man eine [mm] $\IZ$-Basis [/mm] des [mm] $\IZ$-Moduls $\mathcal{O}_L [/mm] = [mm] \IZ[\zeta]$ [/mm] nimmt (Ring der ganzen Zahlen), ist es eindeutig bis auf Quadrate in [mm] $\IZ^\ast [/mm] = [mm] \{ \pm 1 \}$, [/mm] also tatsaechlich eindeutig (als Element von [mm] $\IQ$, [/mm] da [mm] $\alpha$ [/mm] keine ganze Zahl sein muss).
Ich vermute mal, es ist die Determinante als Element in [mm] $\IQ^\ast [/mm] / [mm] (\IQ^\ast)^2$ [/mm] gemeint (zuzueglich der 0, falls [mm] $\alpha [/mm] = 0$ ist).
Sei [mm] $\omega_1, \dots, \omega_n$ [/mm] eine [mm] $\IQ$-Basis [/mm] von $L$. Sei $A [mm] \in \IQ^{n \times n}$ [/mm] eine Matrix mit [mm] $(\omega_1, \dots, \omega_n) [/mm] A = [mm] (\alpha \omega_1, \dots, \alpha \omega_n)$. [/mm] Dann ist eine Grammatrix von [mm] $b_\alpha$ [/mm] durch die komponentenweise Spur von [mm] $(\omega_1, \dots, \omega_n)^T (\omega_1, \dots, \omega_n) [/mm] A$ gegeben. Sind [mm] $\sigma_1, \dots, \sigma_n [/mm] : L [mm] \to \IC$ [/mm] alle [mm] $\IQ$-Einbettungen [/mm] von $L$ in [mm] $\IC$, [/mm] so ist also [mm] $\sum_{i=1}^n \sigma_i( (\omega_1, \dots, \omega_n)^T (\omega_1, \dots, \omega_n) [/mm] A )$ die Grammatrix von [mm] $b_\alpha$ [/mm] (bzgl. der Basis [mm] $\omega_1, \dots, \omega_n$). [/mm] Die Grammatrix von [mm] $b_1$ [/mm] ist entsprechend durch [mm] $\sum_{i=1}^n \sigma_i( (\omega_1, \dots, \omega_n)^T (\omega_1, \dots, \omega_n) [/mm] )$ gegeben.
[Hier wende ich die [mm] $\sigma_i$ [/mm] komponentenweise auf Matrizen an.]
Nun ist [mm] $Norm_{L/\IQ}(\alpha) [/mm] = [mm] \det [/mm] A$. Du musst also [mm] $\det \biggl( \sum_{i=1}^n \sigma_i( (\omega_1, \dots, \omega_n)^T (\omega_1, \dots, \omega_n) [/mm] A ) [mm] \biggr) [/mm] = [mm] \det [/mm] A [mm] \cdot \det \biggl( \sum_{i=1}^n \sigma_i( (\omega_1, \dots, \omega_n)^T (\omega_1, \dots, \omega_n) [/mm] ) [mm] \biggr)$ [/mm] zeigen (bis eventuell auf Quadrate aus [mm] $\IQ^\ast$).
[/mm]
Verwende nun, dass die [mm] $\sigma_i$ [/mm] Homomorphismen sind und $A [mm] \in \IQ^{n \times n}$ [/mm] ist. Dann siehst du sehr schnell, dass beide Seiten gleich sind (sogar ganz ohne Quadrate).
LG Felix
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Vielen Dank!
Ich konnte alles nachvollziehen und nachrechnen. Könnte es aber sein, dass in der Klammer ganz am Ende ein "A" zuviel drin steht? Evtl. durch Guttenbergen?
Viele Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Do 16.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Thomas,
> Ich konnte alles nachvollziehen und nachrechnen. Könnte es
> aber sein, dass in der Klammer ganz am Ende ein "A" zuviel
> drin steht?
ja, hast Recht. Ich werd's mal entfernen.
> Evtl. durch Guttenbergen?
War immerhin selbst-geguttenbergt 
LG Felix
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