Determinante und Nullteiler < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mi 04.12.2013 | | Autor: | phychem |
Hallo
Folgende Aufgabenstellung:
Seien R ein kommutativer Ring mit Einselement und [mm] A\inR^{n\times n} [/mm] eine quadratische Matrix, so dass det(A) ein Nichtnullteiler von R ist. Man zeige: Für eine Matrix [mm] B\inR^{m\times n} [/mm] folgt aus BA=0 stets B=0.
Also: Wäre ja m=n (B also quadratisch), so würde aus der Tatsache, dass det(A) kein Nullteiler ist und 0=det(BA)=det(B)det(A) gerade det(B)=0 folgen. det(B)=0 würde wiederum bedeuten, dass B entweder ein Nullteiler oder 0 ist (eine von der Nullmatrix verschiedene quadratische Matrix ist genau dann Nullteiler, wenn ihre Determinante Null ist). Aber das bringt mich hier ja nicht wirklich weiter...
Was kann ich denn aus der Tatsache, dass det(A) ein Nichtnullteiler ist, sonst noch so schliessen?
Ich hab das Gefühl das ganze funktioniert nur, wenn man diejenige Definition eines Nullteilers verwendet, die auch die Null als Nullteiler vorsieht. Denn dann würde aus "det(A) ist kein Nullteiler" automatisch det(A)>0 folgen, was wiederum bedeuten würde, dass A kein Nullteiler ist und so aus BA=0 B=0 folgen müsste.
Aber das kanns ja auch nicht sein...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Do 05.12.2013 | | Autor: | hippias |
$det [mm] A\neq [/mm] 0$ bedeutet in Koerpern ja, dass $A$ invertierbar ist, jedoch in Ringen ist die Lage nicht so einfach. Du kannst hier aber die Eigenschaften der zu $A$ adjungierten Matrix [mm] $A^{\star}$ [/mm] ausnutzen, denn diese ist fast die Inverse von $A$. Damit ist $0= [mm] BAA^{\star}=\ldots$. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Do 05.12.2013 | | Autor: | phychem |
Ich weiss ja nicht, dass det(a)>0 ist....
"Kein Nullteiler" schliesst ja den Fall det(A)=0 nicht aus. Zumindest nach der mir geläufigen Definition ist die Null kein Nullteiler (aber es gibt tatsächlich auch Mathematiker, die die Null zum Nullteiler erklären).
Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass "det(A) ist kein Nullteiler" einfach nur zu det(A)>0 führen soll. Das wäre ziemlich plump (man hätte ja direkt det(A)>0 voraussetzen können).
Und wie gesagt: Wenn ich det(A)>0 annehmen dürfte (was ich aber bezweifle), dann würde die Behauptung bereits aus der Tatsache folgen, dass A für det(A)>0 kein Nullteiler ist (man bräuchte also erst gar nicht mit der adjungierten Matrix zu argumentieren).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Do 05.12.2013 | | Autor: | hippias |
> Ich weiss ja nicht, dass det(a)>0 ist....
Habe ich auch nicht behauptet; ferner ist im einem Ring im allgemeinen auch keine Ordnungsrelation gegeben.
>
> "Kein Nullteiler" schliesst ja den Fall det(A)=0 nicht aus.
Doch.
> Zumindest nach der mir geläufigen Definition ist die Null
> kein Nullteiler (aber es gibt tatsächlich auch
> Mathematiker, die die Null zum Nullteiler erklären).
Ich fuer meinen Teil habe noch nie gehoert oder gelesen, dass $0$ kein Nullteiler sein soll.
>
> Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass "det(A) ist
> kein Nullteiler" einfach nur zu det(A)>0 führen soll.
Wie gesagt: Das war Deine Idee, nicht meine.
> Das
> wäre ziemlich plump (man hätte ja direkt det(A)>0
> voraussetzen können).
>
> Und wie gesagt: Wenn ich det(A)>0 annehmen dürfte (was ich
> aber bezweifle), dann würde die Behauptung bereits aus der
> Tatsache folgen, dass A für det(A)>0 kein Nullteiler ist
> (man bräuchte also erst gar nicht mit der adjungierten
> Matrix zu argumentieren).
Ich weiss nicht worauf Du hinaus moechtest: Deine Idee mit $det A>0$ moechtest Du - zu Recht - verwerfen, mit der adjungierten Matrix moechtest Du auch nicht arbeiten.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:00 Do 05.12.2013 | | Autor: | phychem |
Achso stimmt, ich hätte [mm] det(A)\not=0 [/mm] und nicht det(A)>0 schreiben soll.
Dass die Null kein Nullteiler ist, wird häufig so definiert. Erst dann macht auch der Ausdruck "nullteilerfrei" Sinn.
Meine "Idee mit det(A)>0" kann auch für [mm] det(A)\not=0 [/mm] formuliert werden: Man kann relativ einfach zeigen, dass A genau dann ein Nullteiler ist, wenn [mm] det(A)\not=0 [/mm] gilt. Wenn ich also aus "det(A) ist kein Nullteiler" einfach [mm] det(A)\not=0 [/mm] folgern darf, folgt die zu beweisende Aussage (also dass aus BA=0 A=0 folgt) unmittelbar. Allerdings bezweifle ich, dass das ganze so einfach gedacht ist....vorallem hätte man dann anstelle von "det(A) ist kein Nullteiler" auch einfach [mm] det(A)\not=0 [/mm] voraussetzen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Do 05.12.2013 | | Autor: | hippias |
> Achso stimmt, ich hätte [mm]det(A)\not=0[/mm] und nicht det(A)>0
> schreiben soll.
>
> Dass die Null kein Nullteiler ist, wird häufig so
> definiert. Erst dann macht auch der Ausdruck
> "nullteilerfrei" Sinn.
Na, wenn Du meinst...
>
> Meine "Idee mit det(A)>0" kann auch für [mm]det(A)\not=0[/mm]
> formuliert werden: Man kann relativ einfach zeigen, dass A
> genau dann ein Nullteiler ist, wenn [mm]det(A)\not=0[/mm] gilt.
Aha...
> Wenn
> ich also aus "det(A) ist kein Nullteiler" einfach
> [mm]det(A)\not=0[/mm] folgern darf, folgt die zu beweisende Aussage
> (also dass aus BA=0 A=0 folgt) unmittelbar.
Soso...
> Allerdings
> bezweifle ich, dass das ganze so einfach gedacht
> ist....vorallem hätte man dann anstelle von "det(A) ist
> kein Nullteiler" auch einfach [mm]det(A)\not=0[/mm] voraussetzen
> können.
Dieser Zweifel ist mehr als berechtigt - wie schon mehrfach gesagt. Ich habe Dir einen Rat gegeben, aber wenn Du ueber die Feststellung der Tatsache, dass Deine urspruengliche Idee wohl nicht zielfuehrend ist, hinauskommst, dann ueberlasse ich anderen Helfern das Feld. Jedoch nicht ohne Dir ans Herz zu legen Deine Definition des Nullteilers zu ueberdenken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 07.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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