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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Do 17.02.2011 | | Autor: | i-man |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring mit 1.
A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, R) invertierbar [mm] \gdw [/mm] det(A) [mm] \in [/mm] R*
und R* ist die Menge der Einheiten in R, der multiplikativen invertierbaren Elemente. Beweisen Sie damit folgenden Aussage:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in [/mm] M(2 [mm] \times [/mm] 2, [mm] \IZ) [/mm] invertierbar [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) = 1 |
Lösungsansatz:
Also da laut VSS die Matrix inventierbar ist folgt det(A) = ad-bc [mm] \not= [/mm] 0.
Laut VSS ist dann die det(A) = {1,-1}, da das die einzigen Elemente in [mm] \IZ [/mm] sind die ein multiplikatives Inverses besitzen ( sich selbst und 1,-1).
naja und weiter komme ich nicht.
Wäre sehr dankbar wenn mir jmd weiter helfen könnte.
Gruß I-Man
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Fr 18.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei R ein kommutativer Ring mit 1.
>
> A [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n, R) invertierbar [mm]\gdw[/mm] det(A) [mm]\in[/mm] R*
>
> und R* ist die Menge der Einheiten in R, der
> multiplikativen invertierbaren Elemente. Beweisen Sie damit
> folgenden Aussage:
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \in[/mm] M(2 [mm]\times[/mm] 2, [mm]\IZ)[/mm] invertierbar
> [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) = 1
>
> Lösungsansatz:
>
> Also da laut VSS die Matrix inventierbar ist folgt det(A) =
> ad-bc [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Laut VSS ist dann die det(A) = {1,-1}, da das die einzigen
> Elemente in [mm]\IZ[/mm] sind die ein multiplikatives Inverses
> besitzen ( sich selbst und 1,-1).
>
> naja und weiter komme ich nicht.
>
> Wäre sehr dankbar wenn mir jmd weiter helfen könnte.
Das Lemma von Bézout besagt: Sind $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] und [mm] $d\:$ [/mm] deren ggT, so gibt es $r, s [mm] \in \IZ: [/mm] ra+sb=d$.
[mm] $d\:$ [/mm] ist außerdem die kleinste positive ganze Zahl, für die diese Gleichung eine Lösung für r und s in den ganzen Zahlen besitzt.
Es gilt also: Existieren $r,s [mm] \in \IZ: [/mm] ra+sb = 1$, dann sind a und b teilerfremd, d.h. [mm] $ggt(a,b)=1\:$.
[/mm]
Kommst du damit weiter?
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Sa 19.02.2011 | | Autor: | i-man |
achja ..
vielen dank
Gruß i-man
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