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| Aufgabe | Berechne die Determinante folgender (n [mm] \times [/mm] n ) - Matrix
[mm] \vektor{ &&&&1 \\ &&\ddots&&\\1&&&&} [/mm] |
Bedeutet die Anschreibung, dass die Diagonalelemente alle 0 sind? oder wie??
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Hiho,
> Berechne die Determinante folgender (n [mm]\times[/mm] n ) - Matrix
> [mm]\vektor{ &&&&1 \\ &&\ddots&&\\1&&&&}[/mm]
> Bedeutet die
> Anschreibung, dass die Diagonalelemente alle 0 sind? oder
> wie??
so wie die Matrix gegeben ist, kann man daraus nichts folgern. Eindeutig ist etwas anderes.
Ist das wirklich so gegeben?
Einzig Sinn macht die Aufgabe meiner Meinung nach so, dass auf der Nebendiagonalen Einsen stehen und sonst nur Nullen, aber das ist auch nur eine Vermutung 
MFG,
Gono.
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Ja leider genauso steht sie auf meinen Blatt ;( Aber trotzdem danke.
Vlt, hat ja noch wer eine Idee was das noch bedeuten könnte.
Also du glaubt, auf der Nebendiagonale sind nur 1-er und sonst 0-er?
Wie rechne ich davon die Determinante aus?
Wenn ich mir das mal an einer 2 x 2 bzw 3x3 Matrix verdeutliche, dann ist die determinante -1.
[mm] det(\vektor{ &&&&1 \\ &&\ddots&&\\1&&&&} [/mm] ) = [mm] (-1)^{1+n} det(\vektor{ &&&&1 \\ &&\ddots&&\\1&&&&} [/mm] )
Irgendwann bleibt nur 1 über aber wie finde ich das Vorzeichen raus?
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Hallo theresetom,
> Ja leider genauso steht sie auf meinen Blatt ;( Aber
> trotzdem danke.
> Vlt, hat ja noch wer eine Idee was das noch bedeuten
> könnte.
>
>
> Also du glaubt, auf der Nebendiagonale sind nur 1-er und
> sonst 0-er?
> Wie rechne ich davon die Determinante aus?
> Wenn ich mir das mal an einer 2 x 2 bzw 3x3 Matrix
> verdeutliche, dann ist die determinante -1.
> [mm]det(\vektor{ &&&&1 \\ &&\ddots&&\\1&&&&}[/mm] ) = [mm](-1)^{1+n} det(\vektor{ &&&&1 \\ &&\ddots&&\\1&&&&}[/mm]
> )
> Irgendwann bleibt nur 1 über aber wie finde ich das
> Vorzeichen raus?
Ist [mm]M_{n,n}[/mm] eine nxn-Matrix mit "-1" ein auf der Nebendiagonalen
und sonst lauter "0"en, dann ist doch:
[mm]\operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{1+n}\operatorname{det}M_{n-1,n-1}[/mm]
Für die nächstkleinere Matrix [mm]M_{n-1,n-2}[/mm] gilt ebenfalls:
[mm]\operatorname{det}M_{n-1,n-1}=\left(-1\right)^{1+\left(n-1\right)}\operatorname{det}M_{n-2,n-2}[/mm]
Demnach
[mm]\operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{1+n}\left(-1\right)^{1+\left(n-1\right)}\operatorname{det}M_{n-2,n-2}[/mm]
Das führst Du solange weiter, bis Du schliesslich eine 1x1-Matrix erhältst.
Gruss
MathePower
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> Ist [mm]M_{n,n}[/mm] eine nxn-Matrix mit "-1" ein auf der
> Nebendiagonalen
> und sonst lauter "0"en, dann ist doch:
nein nicht "-1" sonder "1"
>
> [mm]\operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{1+n}\operatorname{det}M_{n-1,n-1}[/mm]
>
> Für die nächstkleinere Matrix [mm]M_{n-1,n-2}[/mm] gilt
> ebenfalls:
>
> [mm]\operatorname{det}M_{n-1,n-1}=\left(-1\right)^{1+\left(n-1\right)}\operatorname{det}M_{n-2,n-2}[/mm]
>
> Demnach
>
> [mm]\operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{1+n}\left(-1\right)^{1+\left(n-1\right)}\operatorname{det}M_{n-2,n-2}[/mm]
>
>
> Das führst Du solange weiter, bis Du schliesslich eine
> 1x1-Matrix erhältst.
Wie schreibe ich das denn auf? Muss ich da eine Induktion machen!?
Ich komme da nicht drauf..;(
Ich muss doch n-1 Mal entwickeln.
det [mm] M_{1 \times 1} [/mm] = [mm] (-1)^{1+n}*(-1)^{1+\left(n-1\right)}* [/mm] ...det [mm] M_{? \times ?}
[/mm]
??
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Hallo theresetom,
> > Ist [mm]M_{n,n}[/mm] eine nxn-Matrix mit "-1" ein auf der
> > Nebendiagonalen
> > und sonst lauter "0"en, dann ist doch:
> nein nicht "-1" sonder "1"
Ok, da habe ich mich verschrieben.
> >
> >
> [mm]\operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{1+n}\operatorname{det}M_{n-1,n-1}[/mm]
> >
> > Für die nächstkleinere Matrix [mm]M_{n-1,n-2}[/mm] gilt
> > ebenfalls:
> >
> >
> [mm]\operatorname{det}M_{n-1,n-1}=\left(-1\right)^{1+\left(n-1\right)}\operatorname{det}M_{n-2,n-2}[/mm]
> >
> > Demnach
> >
> >
> [mm]\operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{1+n}\left(-1\right)^{1+\left(n-1\right)}\operatorname{det}M_{n-2,n-2}[/mm]
> >
> >
> > Das führst Du solange weiter, bis Du schliesslich eine
> > 1x1-Matrix erhältst.
> Wie schreibe ich das denn auf? Muss ich da eine Induktion
> machen!?
> Ich komme da nicht drauf..;(
> Ich muss doch n-1 Mal entwickeln.
> det [mm]M_{1 \times 1}[/mm] = [mm](-1)^{1+n}*(-1)^{1+\left(n-1\right)}*[/mm]
> ...det [mm]M_{? \times ?}[/mm]
> ??
> #
Wenn Du das bis zum Schluss aufschreibst, dann ergibt sich:
[mm]\operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{1+n}\left(-1\right)^{1+\left(n-1\right)}* \ ... \ * \left(-1\right)^{1+2}\left(-1\right)^{1+1}[/mm]
bzw. vereinfacht geschrieben:
[mm]\operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{\summe_{k=2}^{n+1}k}[/mm]
Die Summe im Exponenten kannst Du noch ausrechnen.
Gruss
MathePower
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> $ [mm] \operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{1+n}\left(-1\right)^{1+\left(n-1\right)}\cdot{} [/mm] \ ... \ [mm] \cdot{} \left(-1\right)^{1+2}\left(-1\right)^{1+1} [/mm] $
Ich versteh nicht ganz wie du auf den SChluss kommst! Kommt dan gar keine determinante einer Matrix hinten dran?
> $ [mm] \operatorname{det}M_{n,n}=\left(-1\right)^{\summe_{k=2}^{n+1}k} [/mm] $
n=1 kommt 1 heraus,
n=2 kommt -1 heraus,
n=3 kommt -1 heraus,
n=4 kommt 1 heraus,
n=5 kommt 1 heraus,
n=6 kommt -1 heraus,
für n=7 kommt -1 heraus,
also abwechselnd immer 2mal das gleiche.
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Am Schluss steht die Determinante einer $1 [mm] \times [/mm] 1$ Matrix, die kann man so berechnen.
Davon abgesehen ist das ganze doch reichlich kompliziert...
Weißt du, wie du die Determinante mit Hilfe des Gauß-Algorithmus bestimmen kannst?
Jedesmal, wenn du zwei Zeilen vertauschst, wird die Determinante mit $-1$ multipliziert.
Ich würde mir an deiner Stelle mal überlegen, dass sich deine Matrix mit einigen wenigen Vertauschungen (wie viele?) auf eine Einheitsmatrix überführen lässt; dessen Determinante kennst du ja.
lg
Schadow
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ah gut.
Ich shcreib die Matrix mal zur besseren Ansicht anders auf als sie in der Angabe steht:
$ [mm] \vektor{ &&&&1 \\ &&&1&\\&&..&&\\&1&&&\\1&&&&} [/mm] $=-$ [mm] \vektor{ 1&&&& \\ &&&1&\\&&..&&\\&1&&&\\&&&&1} [/mm] $
n=1 0 mal vertauschen
n=2 1 mal vertauschen
n=3 1mal vertauschen
n=4 2 mal vertauschen
n=5 2 mal vertauschen
n=6 3 malvertauschen
n=7 3 mal vertauschen
n=n?
n gerade ...=> n/2 mal vertauschen
n ungerade ..=> (n-1)/2 mal vertauschen
Aber das Vorzeichen ist doch dann noch immer nicht eindeutig??
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> n gerade ...=> n/2 mal vertauschen
> n ungerade ..=> (n-1)/2 mal vertauschen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber das Vorzeichen ist doch dann noch immer nicht
> eindeutig??
Nö, es ist abhängig von $n$ wie du ganz richtig festgestellt hast.
lg
Schadow
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Bei n gerade:
$ [mm] \vektor{ &&&&1 \\ &&&1&\\&&..&&\\&1&&&\\1&&&&} [/mm] $=-$ [mm] \vektor{ 1&&&& \\ &&&1&\\&&..&&\\&1&&&\\&&&&1} [/mm] $ = [mm] (-1)^{n/2} [/mm]
Bei n ungerade:
$ [mm] \vektor{ &&&&1 \\ &&&1&\\&&..&&\\&1&&&\\1&&&&} [/mm] $=-$ [mm] \vektor{ 1&&&& \\ &&&1&\\&&..&&\\&1&&&\\&&&&1} [/mm] $ = [mm] (-1)^{(n-1)/2}
[/mm]
Passt dann so die Lösung?
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Noch jeweils $det()$ um die Matrizen rum, dann passt das, ja.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 So 11.03.2012 | | Autor: | theresetom |
danke
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