Determinante entwickeln mit Pi < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:50 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Antimon88 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Matrizen
A= [mm] \pmat{ 4 & -8 \\ -1 & 3 } [/mm] und B= [mm] \pmat{ 2 & 4 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & \pi & 2 }
[/mm]
Berechnen Sie die Determinanten det(A) und det(B) jeweils
- mittels der Entwicklung nach Zeilen oder Spalten und
- mittels elementarer Umformungen zu einer oberen Dreiecksmatrix. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Mathefreunde,
im Prinzip ist die Aufgabe einfach, aber ich hab ein Verständnisproblem was mit der "Entwicklung nach Zeilen oder Spalten" gemeint ist. Ich hab einfach die Determinanten folgendermaßen berechnet
det(A) = 4*3 - (-1)*(-8) = 4
det(B) = 2*(0*2 - [mm] \pi*(-2)) [/mm] -(1)*(4*2 - [mm] \pi*1) [/mm] +1*(4*(-2) - 0*1)
= [mm] 4*\pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] -16
Bei B bin ich mir nicht sicher, ob man der Ergebnis so stehen lassen kann.
Die Matrix A in eine Dreickesmatrix zu formen war nicht schwer. Zeilen vertauscht und sie voneinander abgezogen. Ergebnis = -4
Die Matrix B konnte ich nicht in eine Dreiecksform bringen, weil ich das [mm] \pi [/mm] nicht wegbekommen hab:
Nach mehrfachem Tauschen, Multiplizieren und Subtrahieren war ich immerhin so weit:
B = [mm] \pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & (4-2*\pi) & -3 \\ 0 & \pi & 0 }
[/mm]
Wie mach ich da weiter?
Danke für die Hilfe!
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Hallo!
> Gegeben seien die Matrizen
> A= [mm] \pmat{ 4 & -8 \\ -1 & 3 } [/mm] und B= [mm] \pmat{ 2 & 4 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & \pi & 2 }
[/mm]
>
> Berechnen Sie die Determinanten det(A) und det(B) jeweils
> - mittels der Entwicklung nach Zeilen oder Spalten und
> - mittels elementarer Umformungen zu einer oberen
> Dreiecksmatrix.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Mathefreunde,
>
> im Prinzip ist die Aufgabe einfach, aber ich hab ein
> Verständnisproblem was mit der "Entwicklung nach Zeilen
> oder Spalten" gemeint ist. Ich hab einfach die
> Determinanten folgendermaßen berechnet
>
> det(A) = 4*3 - (-1)*(-8) = 4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> det(B) = 2*(0*2 - [mm] \pi*(-2)) -\red{(1)}*(4*2 [/mm] - [mm] \pi*1) [/mm] +1*(4*(-2) -
> 0*1)
> = [mm] 4*\pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] -16
Hier hast du dich verrechnet. An der rot markierten Stelle hätte (-1) stehen müssen.
(Wenn du nach Zeilen / Spalten entwickelst, musst du immer abwechselnd + und - rechnen, wobei man mit "+" beginnt, wenn Spalte / Zeile ungerade.
Damit kommt man auf die Determinante [mm] 3*\pi.
[/mm]
> Die Matrix A in eine Dreickesmatrix zu formen war nicht
> schwer. Zeilen vertauscht und sie voneinander abgezogen.
> Ergebnis = -4
Ich hoffe, es ist nur ein Tippfehler.
Denn natürlich soll dieselbe Determinante wie oben herauskommen, also +4.
> Die Matrix B konnte ich nicht in eine Dreiecksform bringen,
> weil ich das [mm] \pi [/mm] nicht wegbekommen hab:
>
> Nach mehrfachem Tauschen, Multiplizieren und Subtrahieren
> war ich immerhin so weit:
>
> B = [mm] \pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & (4-2*\pi) & -3 \\ 0 & \pi & 0 }
[/mm]
>
> Wie mach ich da weiter?
Bis jetzt ist es richtig. Achte allerdings darauf, dass du Zeilen vertauscht hast! Pro Zeilenvertauschung verändert sich die Determinante um den Faktor (-1).
Du brauchst nicht solche Scheu vor [mm] \pi [/mm] zu haben, das ist auch nur eine Zahl.
Im einfachsten Falle bräuchtest du jetzt bloß die zweite Zeile [mm] \frac{-\pi}{4-2*\pi} [/mm] mal auf die dritte Zeile zu addieren!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Faithless |
hallo !
> > Die Matrix B konnte ich nicht in eine Dreiecksform bringen,
> > weil ich das [mm]\pi[/mm] nicht wegbekommen hab:
> >
> > Nach mehrfachem Tauschen, Multiplizieren und Subtrahieren
> > war ich immerhin so weit:
> >
> > B = [mm]\pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & (4-2*\pi) & -3 \\ 0 & \pi & 0 }[/mm]
>
> >
> > Wie mach ich da weiter?
>
> Bis jetzt ist es richtig. Achte allerdings darauf, dass du
> Zeilen vertauscht hast! Pro Zeilenvertauschung verändert
> sich die Determinante um den Faktor (-1).
>
> Du brauchst nicht solche Scheu vor [mm]\pi[/mm] zu haben, das ist
> auch nur eine Zahl.
> Im einfachsten Falle bräuchtest du jetzt bloß die zweite
> Zeile [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] mal auf die dritte Zeile zu
> addieren!
alternativ kannst du 2. und 3. spalte tauschen und eine der beiden spalten mit (-1) multiplizieren (vorzeichenwechsel bei spaltenvertauschung) und du hast eine dreiecksmatrix :)
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> > det(B) = 2*(0*2 - [mm]\pi*(-2)) -\red{(1)}*(4*2[/mm] - [mm]\pi*1)[/mm]
> +1*(4*(-2) -
> > 0*1)
> > = [mm]4*\pi[/mm] + [mm]\pi[/mm] -16
>
> Hier hast du dich verrechnet. An der rot markierten Stelle
> hätte (-1) stehen müssen.
> (Wenn du nach Zeilen / Spalten entwickelst, musst du immer
> abwechselnd + und - rechnen, wobei man mit "+" beginnt,
> wenn Spalte / Zeile ungerade.
Also heißt so das Verfahren "Entwickeln nach Zeilen oder Spalten"? Ich dachte, es sind zwei verschiedene Entwicklungsverfahren, je nachdem ob man eben nach Zeile oder Spalten entwickelt. Wie ist das richtig?
> Damit kommt man auf die Determinante [mm]3*\pi.[/mm]
Oh okay, Flüchtigkeitsfehler. Sind dann [mm] 4*\pi [/mm] - [mm] \pi [/mm] = [mm] 3*\pi
[/mm]
> > Die Matrix A in eine Dreickesmatrix zu formen war nicht
> > schwer. Zeilen vertauscht und sie voneinander abgezogen.
> > Ergebnis = -4
>
> Ich hoffe, es ist nur ein Tippfehler.
> Denn natürlich soll dieselbe Determinante wie oben
> herauskommen, also +4.
Wenn ich doch aber die Zeilen vertausche, also so
A= [mm] \pmat{ -1 & 3 \\ 4 & -8 } [/mm] und dann zur 2. Zeile die 1. Zeile 4 Mal dazu addieren, dann hab ich die Dreicksform
A= [mm] \pmat{ -1 & 3 \\ 0 & 4 } [/mm] und die Determinante ist dann = -4
Ist es denn nicht so, dass die Determinante das Vorzeichen wechselt, wenn man eine Zeile Vertauscht? Hast Du weiter unten auch geschrieben. Oder musst die Determinante ein Betrag sein?
> > Die Matrix B konnte ich nicht in eine Dreiecksform bringen,
> > weil ich das [mm]\pi[/mm] nicht wegbekommen hab:
> >
> > Nach mehrfachem Tauschen, Multiplizieren und Subtrahieren
> > war ich immerhin so weit:
> >
> > B = [mm]\pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & (4-2*\pi) & -3 \\ 0 & \pi & 0 }[/mm]
>
> >
> > Wie mach ich da weiter?
>
> Bis jetzt ist es richtig. Achte allerdings darauf, dass du
> Zeilen vertauscht hast! Pro Zeilenvertauschung verändert
> sich die Determinante um den Faktor (-1).
>
> Du brauchst nicht solche Scheu vor [mm]\pi[/mm] zu haben, das ist
> auch nur eine Zahl.
> Im einfachsten Falle bräuchtest du jetzt bloß die zweite
> Zeile [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] mal auf die dritte Zeile zu
> addieren!
Okay, wie kommst du auf die [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] und vor allem, wie sieht die 2. Zeile aus, wenn ich sie mal [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] multipliziere?
Ich würde dann das Elemente [mm]4-2*\pi[/mm] mal [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] nehmen, was man auch so schreiben kann (bei der Klammer bin ich mir nicht sicher): [mm]\frac{(4-2*\pi)-\pi}{4-2*\pi}[/mm] aber das kann man ja nicht einfach kürzen, oder? Man kürzt doch nicht aus Differenzen und Summen, wie sie auf dem Bruchstrich stehen.
Hätte ich die komplette 2. Zeile mal [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] genommen, sähe die jetzt so aus bei mir:
B = [mm]\pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & \frac{(4-2*\pi)-\pi}{4-2*\pi} & \frac{3*\pi}{4-2*\pi} \\ 0 & \pi & 0 }[/mm]
Ich muss jetzt das mittlere Element nur so umformen, dass nur [mm]-\pi[/mm] stehen bleibt, um es mit der 3. Zeile effektiv zu einer Dreiecksmatrix verrechnen zu können.
Wie mach ich das?
Danke für deine Hilfe!
> alternativ kannst du 2. und 3. spalte tauschen und eine der beiden spalten mit (-1) multiplizieren (vorzeichenwechsel bei spaltenvertauschung) und du hast eine dreiecksmatrix :)
Das versteh ich nicht, sorry. Kannst Du mir das bitte rechnerisch darstellen?
Danke auch dir 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Sa 15.05.2010 | | Autor: | oli_k |
Tausche doch einfach mal Spalte 2 und 3 und du siehst unmittelbar, was passiert - du hast eine Dreiecksmatrix und kannst die Determinante sofort ablesen (Diagonalwerte multiplizieren). Zur "Kompensation" der Spaltenvertauschung muss dann allerdings ein Minus vors Ergebnis!
Gruß
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:58 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Antimon88 |
> Tausche doch einfach mal Spalte 2 und 3 und du siehst
> unmittelbar, was passiert - du hast eine Dreiecksmatrix und
> kannst die Determinante sofort ablesen (Diagonalwerte
> multiplizieren). Zur "Kompensation" der Spaltenvertauschung
> muss dann allerdings ein Minus vors Ergebnis!
>
> Gruß
> Oli
Ah okay, das würde dann aus
[mm]B = \pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & (4-2*\pi) & -3 \\ 0 & \pi & 0} \Rightarrow B = \pmat{ 1 & 2 & \pi \\ 0 & -3 & (4-2*\pi) \\ 0 & 0 & \pi}[/mm] machen und [mm]1*(-3)*\pi = -3\pi[/mm]
Ich darf also auch Spalten beliebig vertauschen, solange ich für jeden Tausch das Vorzeichen einmal umkehre?
Dank und Gruß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:11 Sa 15.05.2010 | | Autor: | oli_k |
Ganz genau! Sofern du bis dahin richtig umgeformt hast, ist dein Ergebnis korrekt.
Gruß
Oli
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Hallo,
> > Tausche doch einfach mal Spalte 2 und 3 und du siehst
> > unmittelbar, was passiert - du hast eine Dreiecksmatrix und
> > kannst die Determinante sofort ablesen (Diagonalwerte
> > multiplizieren). Zur "Kompensation" der Spaltenvertauschung
> > muss dann allerdings ein Minus vors Ergebnis!
> >
> > Gruß
> > Oli
>
>
> Ah okay, das würde dann aus
>
> [mm]B = \pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & (4-2*\pi) & -3 \\ 0 & \pi & 0} \Rightarrow B = \pmat{ 1 & 2 & \pi \\ 0 & -3 & (4-2*\pi) \\ 0 & 0 & \pi}[/mm]
> machen und [mm]1*(-3)*\pi = -3\pi[/mm]
>
> Ich darf also auch Spalten beliebig vertauschen, solange
> ich für jeden Tausch das Vorzeichen einmal umkehre?
Das ist richtig.
Das Ergebnis oben stimmt aber nicht - du hast oben ausgerechnet, dass die Determinante [mm] 3*\pi [/mm] ist.
Du hast schon vorher in deinen Umformungen Zeilenvertauschungen ausgeführt, die musst du auch noch beachten!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Do 20.05.2010 | | Autor: | Faithless |
entweder das, oder (das meinte ich mit eine spalte mit -1 multiplizieren):
das minuszeichen in die determinantenfunktion rein ziehen, was bewirkt dass eine zeile oder eine spalte ihr vorzeichen in allen einträgen ändert (stichwort linearität in zeilen oder spalten)
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Hallo,
> > > det(B) = 2*(0*2 - [mm]\pi*(-2)) -\red{(1)}*(4*2[/mm] - [mm]\pi*1)[/mm]
> > +1*(4*(-2) -
> > > 0*1)
> > > = [mm]4*\pi[/mm] + [mm]\pi[/mm] -16
> >
> > Hier hast du dich verrechnet. An der rot markierten Stelle
> > hätte (-1) stehen müssen.
> > (Wenn du nach Zeilen / Spalten entwickelst, musst du
> immer
> > abwechselnd + und - rechnen, wobei man mit "+" beginnt,
> > wenn Spalte / Zeile ungerade.
>
> Also heißt so das Verfahren "Entwickeln nach Zeilen oder
> Spalten"? Ich dachte, es sind zwei verschiedene
> Entwicklungsverfahren, je nachdem ob man eben nach Zeile
> oder Spalten entwickelt. Wie ist das richtig?
Es ist der Laplace'sche Entwicklungssatz, und der geht für Spalten und für Zeilen.
Das sind nicht zwei getrennte Verfahren, es passiert ja fast dasselbe.
> Wenn ich doch aber die Zeilen vertausche, also so
>
> A= [mm]\pmat{ -1 & 3 \\ 4 & -8 }[/mm] und dann zur 2. Zeile die 1.
> Zeile 4 Mal dazu addieren, dann hab ich die Dreicksform
>
> A= [mm]\pmat{ -1 & 3 \\ 0 & 4 }[/mm] und die Determinante ist dann =
> -4
>
> Ist es denn nicht so, dass die Determinante das Vorzeichen
> wechselt, wenn man eine Zeile Vertauscht? Hast Du weiter
> unten auch geschrieben. Oder musst die Determinante ein
> Betrag sein?
Nein, die Determinante ist kein Betrag.
Du hast einmal Zeilen vertauscht, also musst du deine Determinante mal (-1) rechnen.
Damit sich nicht dauernd dran erinnern muss, sieht der Rechenweg eigentlich so aus:
[mm] $\det\pmat{ 4 & -8 \\ -1 & 3 } [/mm] = [mm] (-1)*\det\pmat{ -1 & 3 \\ 4 & -8 } [/mm] = [mm] (-1)*\det\pmat{ -1 & 3 \\ 0 & 4 } [/mm] = [mm] (-1)*\Big((-1)*4 [/mm] - [mm] 3*0\Big) [/mm] = 4.$
> > Bis jetzt ist es richtig. Achte allerdings darauf, dass du
> > Zeilen vertauscht hast! Pro Zeilenvertauschung verändert
> > sich die Determinante um den Faktor (-1).
> >
> > Du brauchst nicht solche Scheu vor [mm]\pi[/mm] zu haben, das ist
> > auch nur eine Zahl.
> > Im einfachsten Falle bräuchtest du jetzt bloß die
> zweite
> > Zeile [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] mal auf die dritte Zeile zu
> > addieren!
Mein Vorschlag war natürlich äußerst umständlich. Allerdings hilft es dir trotzdem, weil sich da noch einige Schwächen / Fehlerchen bei dir offenbaren...
> Okay, wie kommst du auf die [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] und vor
> allem, wie sieht die 2. Zeile aus, wenn ich sie mal
> [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] multipliziere?
Ich multipliziere die Zeile so, dass [mm] -\pi [/mm] dasteht, also genau das negative von der zweiten Spalte.
Wichtig: Wir multiplizieren die Zeile selbst nicht! Wir wenden also nicht an:
Zeile * Skalar --> Zeile,
(Hier müsste man die Determinante wieder durch einen Vorfaktor [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] ausgleichen!)
sondern diese Regel:
Zeile * Skalar + AndereZeile --> AndereZeile.
(Hier passiert mit der Determinante nichts!)
> Ich würde dann das Elemente [mm]4-2*\pi[/mm] mal
> [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm] nehmen, was man auch so schreiben kann
> (bei der Klammer bin ich mir nicht sicher):
> [mm]\frac{(4-2*\pi)-\pi}{4-2*\pi}[/mm] aber das kann man ja nicht
> einfach kürzen, oder? Man kürzt doch nicht aus
> Differenzen und Summen, wie sie auf dem Bruchstrich
> stehen.
Genau, das was du geschrieben hast, ist falsch. Es wäre nur richtig, wenn da gestanden hätte:
[mm] $\red{1}-\frac{-\pi}{4-2*\pi} [/mm] = [mm] \frac{(4-2*\pi)-\pi}{4-2*\pi}$
[/mm]
> Hätte ich die komplette 2. Zeile mal [mm]\frac{-\pi}{4-2*\pi}[/mm]
> genommen, sähe die jetzt so aus bei mir:
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & \frac{(4-2*\pi)-\pi}{4-2*\pi} & \frac{3*\pi}{4-2*\pi} \\ 0 & \pi & 0 }[/mm]
Wieso sieht es dann bei dir so aus?
Wenn ich die zweite Zeile mit dem Faktor multipliziere, kürzt sich da doch gerade im mittleren Element was weg:
[mm] \pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & -\pi & \frac{3*\pi}{4-2*\pi} \\ 0 & \pi & 0 }
[/mm]
Aber Achtung: Wenn man Zeilen mit Skalaren multipliziert, verändert sich die Determinante in folgender Weise:
[mm] $\det\pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & 4-2*\pi & -3 \\ 0 & \pi & 0 } [/mm] = [mm] \frac{4-2*\pi}{-\pi}*det(\pmat{ 1 & \pi & 2 \\ 0 & -\pi & \frac{3*\pi}{4-2*\pi} \\ 0 & \pi & 0 }$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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