Determinante einer Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 So 16.12.2012 | | Autor: | Oscity |
| Aufgabe | Man berechne die Determinante der reellen 175×175-Matrix
C = [mm] (c_{k,l}) [/mm] k,l=1,...,175 , wobei
[mm] c_{k,l}=\begin{cases} k^{2}+1, & \mbox{falls } k=l \\ k*l, & \mbox{falls } k\not=l. \end{cases} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bevor ich kurz erläutere was ich schon alles selbst erarbeitet habe, möchte ich meine Frage stellen: Ist mein Induktionsbeweis vollständig korrekt, oder wäre hier ein anderer Beweis nötig?
Nun...
Ich habe lange studiert wie man auf die Determinante dieser 175x175 Matrix kommen kann. Ich habe mir dazu die ersten 4 Determinanten von [mm] c_{k,l} [/mm] berechnet und aufgeschrieben. Wobei ich annehme, dass alle Matrizen, die wir betrachten quadratisch sind.
Det [ [mm] c_{1,1} [/mm] ] = 2
Det [ [mm] c_{2,2} [/mm] ] = 6
Det [ [mm] c_{3,3} [/mm] ] = 15
Det [ [mm] c_{4,4} [/mm] ] = 31
...
Dann ist mir aufgefallen, dass sie einer bestimmten Vorschrift folgen. Nämlich ist für k,l [mm] \ge [/mm] 2 :
Det [ [mm] c_{k,l} [/mm] ] = 2 + [mm] \summe_{i=2}^{k} k^{2}
[/mm]
Oder anders ausgedrückt:
Det [ [mm] c_{k,k} [/mm] ] = [mm] k^{2} [/mm] + Det[ [mm] c_{k-1,k-1} [/mm] ]
Nun habe ich mir gedacht, dass man das durch Induktion beweisen kann.
Behauptung: Det [ [mm] c_{k,l} [/mm] ] = 2 + [mm] \summe_{i=2}^{k} k^{2} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 2.
Induktionsverankerung:
k = 1:
Det [ [mm] c_{1,1} [/mm] ] = [mm] \vmat{ 2 } [/mm] = 2
Induktionsscchritt:
k = 2:
Det [ [mm] c_{2,2} [/mm] ] = [mm] \vmat{ 2 & 2 \\ 2 & 5 }
[/mm]
= 2 * 5 - 2 * 2 = 6
= 2 + [mm] \summe_{i=2}^{2} k^{2}
[/mm]
Induktionsscchritt:
k = 3:
Det [ [mm] c_{3,3} [/mm] ] = [mm] \vmat{ 2 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 10 } [/mm] = [mm] (-1)^{1+1} [/mm] * 2 * [mm] \vmat{ 5 & 6 \\ 6 & 10 } [/mm] + [mm] (-1)^{1+2} [/mm] * 2 * [mm] \vmat{ 2 & 6 \\ 3 & 10 } [/mm] + [mm] (-1)^{1+3} [/mm] * 3 * [mm] \vmat{ 2 & 5 \\ 3 & 6 }
[/mm]
= 2 * (5 * 10 - 6 * 6 ) - 2 * (2 * 10 - 3 * 6) + 3 * ( 2 * 6 - 3 * 5)
= 15
= 2 + [mm] \summe_{i=2}^{3} k^{2}
[/mm]
Induktionsannahme: Bis (k-1) wurde es schon bewiesen:
k-1 -> k:
Det [ [mm] c_{k,l} [/mm] ] = [mm] k^{2} [/mm] + Det [ [mm] c_{k-1,l-1} [/mm] ] = [mm] k^{2} [/mm] + (2 + [mm] \summe_{i=2}^{k-1} k^{2}) [/mm] = 2+ [mm] \summe_{i=2}^{k} k^{2}
[/mm]
Aber GENAU HIER scheint mir mein beweis unvollständig zu sein....
Ich weiss noch folgendes, und darauf bin ich gekommen während ich dies verfasst habe:
Det [ [mm] c_{k,k} [/mm] - [mm] Id_{k} [/mm] ] = Det [ C - Einheitsmatrix ] = [mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & {...} \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & {...} \\ 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & {...} \\ 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & {...} \\ 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & {...} \\ 6 & 12 & 18 & 24 & {...} \\ 7 & 14 & {...} \\ {...} & {...} & & & & & & {...} } [/mm] = 0
Aber irgendwie weiss ich nicht wie (oder durch welche Regeln) es mir hilft, zu beweisen, dass
Det [ [mm] (c_{k,k} [/mm] - [mm] Id_{k}) [/mm] + [mm] Id_{k} [/mm] ] = 2 + [mm] \summe_{i=2}^{k} k^{2}
[/mm]
Kann mir jemand bitte weiterhelfen?
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Deine Entdeckung stimmt, die formale Handhabung jedoch nicht. Vieles ist da nicht in Ordnung. Allein, in wieviel verschiedenen Bedeutungen du die Variable [mm]k[/mm] verwendest, läßt einen schwindlig werden. Man kann den Ansatz so nicht mehr retten.
Fangen wir lieber mit dem an, was stimmt. Man kann das sogar noch weiterspinnen, indem man fortwährend Differenzen bildet. Die nullten Differenzen sind die Werte der Determinanten an sich, die ersten Differenzen die Quadratzahlen, die zweiten die ungeraden Zahlen, die dritten Differenzen sind konstant 2 und die vierten Differenzen konstant 0. Ausführlich:
[mm]\begin{matrix} 2 & & 6 & & 15 & & 31 & & 56 \\ & 4 & & 9 & & 16 & & 25 & \\ & & 5 & & 7 & & 9 & & \\ & & & 2 & & 2 & & & \\ & & & & 0 & & & & \end{matrix}[/mm]
Wenn das alles wahr ist, dann sind nach einem bekannten Satz die nullten Differenzen Werte eines Polynoms dritten Grades. Für die gesuchte Determinante, ich bezeichne sie einmal mit [mm]\delta_n[/mm], wenn die Matrix [mm]n[/mm]-reihig ist, hätte man also eine Formel
[mm]\delta_n = an^3 + bn^2 + cn + d[/mm]
Die Koeffizienten [mm]a,b,c,d[/mm] kannst du bestimmen, indem du vier Wertepaare einsetzt: [mm]\delta_1 = 2, \, \delta_2 = 6, \, \delta_3 = 15, \, \delta_4 = 31[/mm]. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen in den vier Unbekannten [mm]a,b,c,d[/mm]. Damit hast du eine Formel für deine Determinante gefunden. Allerdings ist sie damit noch lange nicht bewiesen. Man könnte versuchen, die Formel per Induktion zu zeigen. Ich würde jedoch etwas ganz anderes vorschlagen. Ich führe es einmal im Fall [mm]n=5[/mm] vor. Deine Aufgabe wäre es, die Argumentation auf beliebiges [mm]n[/mm] zu übertragen.
Die Idee beruht auf dem, was du zuletzt richtig bemerkt hast, daß nämlich die Zeilen der Matrix alle Vielfache der ersten Zeile wären, wenn da nicht diese verflixte +1 in der Hauptdiagonale noch dazukäme. Also bekommt man sicher viele Nullen in die Matrix, wenn man das (-2)-fache der ersten Zeile zur zweiten, das (-3)-fache der ersten Zeile zur dritten usw. addiert. Das sieht dann so aus:
[mm] \delta_5 [/mm] = [mm] \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 6 & 8 & 10 \\ 3 & 6 & 10 & 12 & 15 \\ 4 & 8 & 12 & 17 & 20 \\ 5 & 10 & 15 & 20 & 26 \end{vmatrix} [/mm] = [mm] \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
[/mm]
Um nun die negativen Zahlen wegzubekommen, addiert man das 5-fache der fünften Spalte zur ersten Spalte, das 4-fache der vierten Spalte zur ersten Spalte usw. Man bekommt auf diese Weise:
[mm]\delta_5 = \begin{vmatrix} 2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}[/mm]
Jetzt hat man eine Diagonalmatrix. Die Determinante ist also, systematisch aufgeschrieben
[mm]\delta_5 = 1 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2[/mm]
Wie gesagt, dieses Vorgehen mußt du jetzt noch vom Fall 5 auf den Fall [mm]n[/mm] verallgemeinern. Das läuft dann auf
[mm]\delta_n = 1 + 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2[/mm]
hinaus, aber jetzt nicht mehr als Vermutung, sondern als Ergebnis eines Rechengangs. Und für die Summe der ersten [mm]n[/mm] Quadratzahlen gibt es eine bekannte Formel. Da findest du sicher etwas, wenn du unter "Potenzsummen" oder ähnlich suchst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Di 18.12.2012 | | Autor: | Oscity |
Ja das mit dem k-Indiz war richtig schlecht von mir, hätte ich anders aufschreiben sollen :)
Ich habe es aber mittlerweile selber herausbekommen, und deine Antwort war nur noch eine bestätigung zu meinem beweis =) nur hab ich den Schritt mit der Spalten-Addition nicht gemacht, und hab somit auf eine kompliziertere Art es bewiesen.
Danke Vielmals für die Antwort! Hab noch was draus gelernt :)
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