Determinante bestimmen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei A eine 10x10 Matrix über [mm] \IR [/mm], deren Einträge 0 oder 1 sind und bei der maximal 11 Einträge nicht Null sind. Welche Werte kann det(A) annehmen ?
(Hinweis: Leibnizformel) |
Hallo,
meine Überlegungen sind folgende:
1) Wenn es weniger als 10 1-er gibt, ist die Determinante 0, weil dann eine Spalte/Zeile 0 ist.
2) Bei 10 1-ern kann die Determinante 0 oder 1 sein:
0 wenn eine Zeile komplett 1 ist, der Rest ist 0
1 wenn die Diagonale 1 ist und der Rest 0
1 wenn die 1-er verteilt sind kann A durch Multiplikation mit Elementarmatrizen in die Einheitsmatrix überführt werden.
3) Bei 11 1-ern kann die Determinante 0/1/2 sein:
0 wenn eine Zeile komplett 1 ist und eine weitere Stelle 1
1 wenn eine obere/untere Dreiecksmatrix dargestellt wird
2 wenn durch Elementarmatrizenumformung auf der Diagonalen eine 2 und sonst 1-er stehen.
Ich fürchte, dieser Ansatz ist zu banal.
Den Hinweis mit der Leibnizformel verstehe ich nicht. Muss ich hier mit Transpositionen arbeiten, wenn ja, wie ?
Danke, Susanne.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Di 13.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Susanne!
Ich bearbeite die Aufgaben von heute an auch und gebe mal meine Erkenntnisse der letzten paar Minuten preis:
Zu 1) Habe ich auch so.
Zu 2) Habe ich fast auch so.
Wenn irgend eine Zeile/Spalte mehr als eine 1 enthält, dann gibt es mindestens eine Nullzeile/Nullspalte und die Determinante ist 0. Soweit so gut.
Für deinen dritten Fall, also eine "durcheinandergewürfelte" 1er Matrix, kann die Determinante aber auch -1 sein, nämlich genau dann, wenn du eine ungerade Anzahl an Zeilenvertauschungen benötigst, um die Einheitsmatrix zu erreichen. Denn [mm] det(P_{ij}) [/mm] = -1 und [mm] det(P_{ij}A)=det(P_{ij})det(A).
[/mm]
Zu 3) Da würde ich spontan auch sagen, dass die Determinante nur 0, 1 und -1 sein kann. Wenn du durch elementare Zeilenumformungen eine 2 in die Diagonale bringst, dann hast du doch keine Dreiecksform mehr und kannst die Determinante nicht mehr so einfach anhand der Diagonalen ablesen.
Die ersten beiden Punkte kann man wahrscheinlich "banal" verbal beweisen. Für 3. taugt die Leibnizformel. Die ist allerdings nicht ganz so intuitiv verständlich und die muss ich mir auch noch genauer ansehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 13.11.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Oliver,
vielen Dank für deinen Input !
> Zu 3) Da würde ich spontan auch sagen, dass die
> Determinante nur 0, 1 und -1 sein kann. Wenn du durch
> elementare Zeilenumformungen eine 2 in die Diagonale
> bringst, dann hast du doch keine Dreiecksform mehr und
> kannst die Determinante nicht mehr so einfach anhand der
> Diagonalen ablesen.
Stimmt ! Da habe ich mich vertan, danke !
Aber so richtig weiter bin ich hier auch noch nicht.
LG, Susanne.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Mi 14.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
